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模态空间—我改变了悬臂梁端部的刚度，但模态频率最多只能移动有限大小，这是怎么回事？
2019-11-07 14:31:25· 来源：德国M十P国际公司北京代表处
我改变了悬臂梁端部的刚度，但频率最多只能变化那么大。这是怎么回事？这个问题需要讨论一下。点击添加图片描述（最多60个字）这是一个让很多人感到困惑的问题。
——我改变了悬臂梁端部的刚度，但频率最多只能变化那么大。这是怎么回事？
——这个问题需要讨论一下。
这是一个让很多人感到困惑的问题。我们从一个简单的悬臂梁开始，来了解系统内在的一些基本特性。
首先我们从简单有限元模型开始，来研究悬臂梁顶端刚度的影响。图1分别展示了自由端悬臂梁，端部带弹性支撑的悬臂梁和端部铰支的悬臂梁。我们将利用悬臂梁的有限元模型来探讨当梁顶端弹簧的刚度由低变高时会发生什么。
图1 悬臂梁、端部带有弹簧的悬臂梁以及端部铰支的悬臂梁
表1列出了悬臂梁前3阶模态,由表可见当刚度递增时频率的变化以及铰支端的结果-等价于刚度无穷大。需要着重指出的是，随着弹簧刚度的增加，频率最终趋向于铰支端悬臂梁的频率。
表1 不同顶端条件下（自由、弹簧、铰支）的悬臂梁频率
这意味着不管悬臂梁端部的刚度如何增大，频率也只能移动这么多，并且后面刚度增加的再多，也几乎没有产生什么变化——这是一个收益递减点。
进一步考虑这个简单的悬臂梁，观察其顶端的响应，如图2所示，驱动点频响是在刚度增加的顶端进行测量的。
现在我们来观察频响函数并讨论其不同部分。该函数在固有频率上出现峰值。基本上，在峰值附近区域内可以用很小的力就引起很大的响应，结构在共振频率上好像没有明显的刚度。
而在反共振频率区域内，即便施加很大的力也基本不产生响应，看起来结构在该频率具有无穷大的刚度，也就是说反共振频率上没有位移，悬臂梁在该频率好像被铰支固定了。
图2 悬臂梁顶端的驱动点FRF测量结果
图3展示了频响函数的峰会随着悬臂梁顶端刚度的变化而发生偏移。如果梁顶端刚度增加，峰值就会向右偏移。
图3 弹簧刚度变化导致的频率偏移
但是随着刚度增加，系统频率的偏移有一些限制。可以看出，在反共振频率处悬臂梁顶端位移实际为零，这相当于顶端被铰支固定时频率，如图4所示。从图中可以看出弹性约束悬臂梁的峰值偏移范围不会超出其反共振频率，因为悬臂梁顶端被约束在铰支条件下时，其位移为零。
图4 约束条件下最大频率位移
综上所述，悬臂梁的频率在顶端为弹簧约束时仅能偏移一定的范围。进一步讲，实际上我们可以通过观察无约束悬臂梁顶端的反共振频率，来确定频率偏移的范围。
我希望这篇文章澄清了为何频率只能在一定范围内移动的疑问。验证这个问题的最好方法就是建立一个简单的有限元模型并检查输出结果。如果你有关于模态分析的任何其他问题，欢迎垂询。
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