疲劳分析中需要知道的一点统计学

对于绝大多数工程师来说，统计学是一门不太容易掌握的学科。在教科书上，统计学一般都是纯数学理论，没有将统计公式与实际工程案例结合起来，所以不太容易弄懂。在结构疲劳分析中，其实并没有太多的理论需要我们掌握，重要的是需要将一些观念和统计概念结合起来。

我们来看一组数据：

表1 – 数据列表


这些数据有什么含义呢？如果将这些点连接起来，它们看起来像一段随机数据（图1- a）；如果我们看这段数据从头到尾的趋势变化，趋势变化并不明显（图1 - b）；如果将这段数据的动态均值连起来，均值变化大约在50附近上下波动（图1- c）。初步看上去，数据没有多大的规律性。


图1 – (a)原始数据，(b)趋势分析，(c)动态均值分析

换一种方式，如果我们统计一下每个数据点在整个样本中出现的频次（如图2），横坐标为数据大小区间，纵坐标为测试数据在各区间出现的频次，这些频次接近一种近似的规律性。越接近均值的点的个数越多，越远离均值的点的个数越少。


图2 – 数据出现频次图

这些点出现的频次所呈现出的特性就是一种概率分布。将图2中的柱状图进行平滑，找出其频次数的平滑拟合线，如图3。继续，将纵坐标的频次数改为累积频次数，例如，假定柱状图中以数值44为起点，数值44出现了3次，数值45出现了5次，累积频次图的纵坐标则变为小于数值44的数出现了3次，小于数值45的数出现了（3+5）次，以此类推，则成为累积频次图（CumulativeDistribution Function, CDF，其纵坐标变成各级次数除以总次数的比值）。如果将累积频次图的纵坐标改为对数坐标，所有的频次数则变成了一个直线分布。至此，我们找到了这个数据样本的一般性规律：数据服从正态分布。


图3– 累积频次图（CDF）

对数纵坐标下的累积频次图，绝大多数的点都分布在中间的一条直线上，中间直线的左右两边各有一条线，这两条线几乎将所有的点都囊括在其中。这两条线所形成的区域，称为置信区间。本案例中，这个置信度为95%，即100个样本中有95个处于这个置信区间中。

正态分布是诸多概率分布中的一种。其他常用的分布还有对数正态分布、二项式分布、威布尔分布、极值分布等。对于工程应用来说，没有必要过多的考虑这些分布的数学公式，有很多统计软件，如MINITAB[1]，可以帮助我们解决诸如此类的概率统计问题。我们可以通过软件选择合适的分布表达数据，找到最适合这些数据的分布即可。

举个例子。假如我们做了12个零部件试验，得到了在某一固定幅值下的12组失效次数，如表2。

表2 – 试验失效次数


我们用不同的概率分布来表达这组数据，如图4。通过肉眼，直观判断对数正态分布最适合这组数据。实际上，通过数学指标AD值（Anderson-Darling）也能得到同样的判断。AD值越小，对应的P值（P-Value）越大，概率分布与数据的适应性越好。如果P值过小，通常为小于0.1，则该组数据不服从于所选择的分布。


图4 – 通过不同的概率分布表达数据

一旦选定了合适的分布，我们即可直接读取这组数据的统计值。如表2数据的均值（mean）或中值（median）[2]约为83,000，或者说我们有95%的信心这组数据的中值处于70,000和98,000之间（图5）。在现有测试样本数的条件下，这是我们对这组数据的统计特征能做到的做好的估计。


图5 – 对数正态分布


图6 – 比较6个样本数和12个样本数的中值

如果将服从同一概率分布的6个样本值和12个样本值放在一起比较（如图6），会发现两组数据的中值接近，但12个样本值的概率分布置信区间更小，这意味着样本数越多，其概率分布越趋于集中，由此预测大样本概率的精度会越高。

现在我们可以看到概率的好处了。它帮助我们解释测试结果并告诉我们结果的离散度会有多大。在后续的文章中，我们会运用概率来分析道路测试数据和试验室测试结果。

需要强调的是，任何工程测试数据都是一个估计。估计值的精度取决于测试方法的定义，试验样本的多少，以及表达试验结果的变量的选择。而置信区间表达了试验结果可能的离散度，在总结试验结论时需要考虑进去。

我们通过两组数据来举例说明。假定我们从测试1中获得了10个测试结果，从同样的测试2中获得了100个测试结果，测试结果服从正态分布如图7所示。


图7 – 测试结果

从图中可以看到，测试1的均值为93.4，测试2的均值为100.5，两者约7%的差异。相比测试1，测试2的结果置信区间精度高出很多。测试1的置信区间为±7% ，而测试2的置信区间< ±2%。

再举一个利用统计概念帮助我们解释试验结果的例子。一个整车生产厂将某个零部件的售后失效里程数进行了统计。数据来源于两个不同的区域。将该部件在两个区域的失效里程用概率分布表达，如图8所示。两组数据均服从正态分布，其均值大致相同，但分布的斜率完全不同。从图中可以看出，对区域A，绝大多数零部件会在9万公里左右失效，而区域B则会到16万公里左右，此外，区域A的载荷输入或者说道路条件比区域B稳定，因此其零件失效里程数相对稳定。换句话说，区域B驾驶条件更加恶劣，零件失效里程数的离散度更大。


图8 – 售后失效数据

总结来说，可供分析的数据样本量越多，对数据统计量的预测精度越高。在工程实践中，由于时间和成本的关系，往往得不到足够的试验样本数，这是我们需要面对的挑战，需要取舍和综合判断。


[1] http://www.minitab.com/en-us/
[2]中值又称中位数，当样本项数n为奇数时，处于中间位置的样本值即为中位数；当n为偶数时，中位数则为处于中间位置的2个样本值的平均数。只有在正态分布下，均值和中值相等。