车辆轮胎-路面附着系数估计_时延神经网络方法

编者按：汽车的主动安全性很大程度上取决于轮胎和路面之间的作用情况。在车辆运动控制中，轮胎和路面间所能达到的附着力的极限也与控制的效果直接相关。因此，准确地获取轮胎-路面的附着系数，对于改善车辆上的各种控制模块和主动安全系统的性能有重要意义。近年来，对于轮胎-路面附着系数估计的研究逐渐受到重视，各种估计方法逐渐被提出。本文重点关注轮胎侧向动力学特性，提出了一种基于时延神经网络(TDNN)的轮胎-路面附着系数估计方法，并与传统的估计方法进行了比较，证明了所提出的估计方法的有效性。


本文译自：
《Estimation of Tire–Road Friction for Road Vehicles: a Time Delay Neural Network Approach》
文章来源：
Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, Vol.42, No.1
作者：
Alexandre M. Ribeiro, Alexandra Moutinho, André R. Fioravanti, Ely C. de Paiva
原文链接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s40430-019-2079-y

摘要：汽车主动安全系统的性能取决于轮胎与路面接触时产生的附着力。因此，充分了解轮胎-路面附着系数对于实现不同车辆控制系统的良好性能具有重要意义。本文通过获取轮胎侧向力信息，研究了轮胎-路面附着系数的估计问题。提出的估计方法采用了时延神经网络(TDNN)。TDNN的目的是避免使用标准的轮胎数学模型来检测侧向力激励下的路面附着系数，从而提供一种更有效、鲁棒性更好的方法。此外，该方法能够独立估计每个车轮处的道路附着系数，而不是使用简化的车轴模型。基于一个真实的车辆模型，在不同的路面和驾驶行为上进行了仿真，以验证所提出的估计方法的有效性。将结果与经典方法，即基于模型的非线性回归方法进行了比较。

关键词：道路附着系数估计，神经网络，递归最小二乘，车辆安全，道路车辆

1  引言

车辆控制的主要挑战之一是，力产生的来源受到胎面元素和道路之间可以达到的附着力的限制。为了更好地理解基于力产生机制的车辆运动特性，一些与车辆动力学和控制领域相关的研究重点关注与轮胎-路面作用相关的状态估计。

对于特定的轮胎与路面接触状态（例如轮胎产生最大附着力的饱和点）的认知，可能会在车辆控制方面带来一系列新的应用。此外，目前的商用车安全系统，如防抱死制动系统(ABS)、牵引力控制系统(TCS)和电子稳定控制系统(ESC)，可以通过整车状态和运行工况的信息来显著提高性能，但它们目前会因为这些缺少这些信息而被限制[1]。因此，为了充分发挥这一潜力，对轮胎极限状态的认识是必不可少的。考虑到这一点，我们强调估计车辆-道路状态的重要性，特别是轮胎-路面附着系数(TRFC)。

为了表征轮胎动力学（力和力矩）下的固有摩擦效应，附着系数估计通常依赖于基于定义良好且可解释的数学模型的估计器。最常见的基于模型的方法使用的动力学模型有：转向系统模型[2, 3]、四分之一车辆模型[4]、四轮车辆动力学模型[5]、动力系统和车轮动力学模型[6]。

对于估计问题，在[7]中首先考察了转向回正力矩与道路附着力的相关性。最近，[5, 8-10]利用非线性递推最小二乘方法，通过观测回正力矩来识别轮胎-路面附着系数，并将该研究扩展为对车辆侧向动力学的研究。

车轮动力学模型也可以用来估计附着力。在[11-13]中分别研究了采用集中式驱动和分布式驱动形式的车辆，车轮滚动的运动特性被用于检测纵向力和附着系数。其估计器主要基于纵向力-滑动率曲线以及其与路面附着系数的关系。

另一种基于模型的方法是滑动率曲线斜率算法。该方法认为小滑移区（纵向力-滑动率曲线的线性区域，表征常规驾驶状态）可以用来估计轮胎-路面附着系数。[14-16]展示了这种方法。

尽管大多数研究都采用基于模型的方法，一些研究也采用了不同的方法来估计路面状态。在[17, 18]中，光学传感器被用作轮胎传感器，可以测量前方道路和轮胎胎体挠度，用于估计附着系数。摄像头也被用来识别不同的表面。检测方法是基于光从路面反射时的偏振性的变化[19]。此外，[20]还提出了一种结合天气数据和车载摄像头获取的道路图像的方法。最近，有研究基于附着系数影响车辆系统（如轮毂电机驱动系统和转向系统）的固有频率的假设，通过频率分析估计道路附着系数[21, 22]。

在机器学习和人工智能领域，[23]设计了前馈神经网络，通过遗传算法优化其拓扑结构，利用测量信号得出实际轮胎力。这些估计值具有探索TRFC的细微差别的潜力。

在[24]中，只在加速/减速工况下进行附着力估计。其应用了含有线性输出层的两层前馈神经网络和车辆纵向动力学参数。通过一组无噪声数据验证了该估计器的有效性。

在[25]和[26]中，车辆在纵向和侧向激励下的响应被共同输入前馈神经网络来估计附着系数。因此，其研究了转向时加速或刹车工况下的估计效果。

在基于神经网络的估计方法中，还有一些研究通过路面状态来估计附着系数。该方法基于机器视觉估计车辆前方的道路状况，估计任务变为了一个分类问题。在[27]中，使用图像数据集训练逻辑回归、支持向量机和神经网络三种机器学习模型来预测附着系数等级。[28]以类似的形式提出了卷积神经网络模型来学习特定区域的图像特征，用于路面状况分类，并提出了从路面分类推断附着系数的方法。其他研究也通过分析道路纹理特征来实现分类[29, 30]。

在本研究中，所提出的估计方法主要针对后驱电动汽车的动力学特性，以实现轮胎-路面附着系数估计，并在以下方面做出了贡献：提出了基于时延神经网络(TDNN)和车辆侧向力信息的轮胎-路面附着系数估计器，并将估计效果与基于移动窗口的非线性最小二乘(NLS)估计器进行比较。

尽管TDNN已经被用于不同的研究领域，如语音识别[31]，运动行为建模[32]，关节角估计[33]和时间序列的非线性行为预测[34]，没有其他研究将TDNN作为估计TRFC或研究TRFC对车辆动力学特性的影响的方法。我们使用TDNN的主要原因是，延时结构使网络能够有效地捕捉由于道路附着系数变化而产生的车辆动态响应。

本文的结构组织如下：第2节介绍了用于估计方法的轮胎力数学模型。第三节详细介绍了最小二乘回归方法。第4节描述了所提出的TDNN的估计算法。第5节给出了仿真结果并进行了分析。最后，在第6节对本文进行总结。

2  轮胎-路面接触模型

当侧向激励足够大时，车辆的侧向动力学模型可以作为TRFC估计的基础。最常用的轮胎模型是表征轮胎侧偏角和侧向力之间关系的代数模型。虽然可以找到很多方法来建立轮胎-道路摩擦模型，但在本研究中我们只选择了三个模型进行分析。选择这些模型是因为它们的公式清晰而简单。它们有较少的调整参数，并能很好地体现轮胎力非线性特点。

如前所述，轮胎与路面之间的作用力与轮胎侧偏角有关，对二者关系的建立十分重要。轮胎侧偏角α为轮胎坐标系x轴与车轮的速度矢量的方向之间的夹角，如图1所示。


图1 平面四轮汽车模型及轮胎侧偏角示意图

通过对平面四轮汽车的运动学分析，可以推导出侧偏角的定义式：



其中，u和v分别为车辆纵向和侧向速度，r为横摆角速度，a和b分别为车辆质心到前轴和后轴的距离，c为车辆轮距的一半，δ为车轮转向角，其下标fl, fr, rl, rr分别代表左前轮、右前轮、左后轮、右后轮。在该车辆模型中，约定车轮转向角在左转时为负，右转时为正。

2.1  数学表达式

轮胎模型表示了轮胎力、力矩与侧偏角、滑动率之间的关系。已经有不同的轮胎数学模型被提出和应用。其中应用最广泛的模型是由Pacejka [35]提出的半经验轮胎模型，被称为Pacejka轮胎模型或魔术公式。该轮胎侧向力模型的简化公式如下：



其中，D, C, B, E为基于轮胎试验测量数据的魔术公式半经验参数，α为轮胎侧偏角，Svy为特征曲线的垂向偏移量。

第二种模型是Dugoff轮胎模型，由Dugoff等人在1969年开发[36]。轮胎侧向力用最简单的形式可以表示为：



其中，



其中Fz为轮胎垂向载荷，μ是附着系数，Cα为侧偏刚度。从概念上来说，轮胎的侧偏刚度是由于轮胎磨损、胎压和温度波动而随时间缓慢变化的一种特性[8]。

最后，另一种广为应用的模型是刷子模型[35]，定义横向力如下:



其中，



虽然本文只介绍了目前最流行和应用最广泛的用于轮胎-路面附着系数估计的轮胎模型，但也有许多有价值的研究试图建立新的模型。这一主题在更广泛的关于地面车辆动力学的论文和书籍中有论述，如[35, 37]。

图2为各模型的不同附着系数下的侧向力特性曲线。开始时，侧向力随着侧偏角线性增加，直到达到饱和，即轮胎力的极限。当侧偏角较小时，这些模型表现出相似的侧向力特性。然而，当垂直力Fz和附着系数μ较大时，它们可能会相互偏离。这表明在估计过程中，模型的差异可能会导致误差。


图2 不同垂直力Fz和附着系数μ下各模型的轮胎侧向力特性曲线

3  基于参数回归的轮胎-路面附着系数识别

如前一节所示，侧向力可以用三个基本参数来表征：轮胎侧偏角α、垂直力Fz和附着系数μ。当车辆受到足够大的侧向激励时，可以利用实测信号和解析模型(2)-(4)来实现道路附着系数估计。这种方法可以看作是将实验数据拟合到非线性解析函数的问题，如[5, 8-10]所述。该问题可以表述为无约束非线性最小二乘优化(NLS)。换言之，我们想要研究我们能在多大程度上使用侧向力信息来识别轮胎侧向参数。这需要单个轮胎上侧向力的准确测量。

最小二乘问题中的非线性曲线拟合包括寻找解决问题的决策变量x：



其中，x*为使目标函数值最小的x最优值，F(x)为拟合函数，为测量的数据。假设轮胎解析模型能够很好地反映轮胎的侧向力特性，它们可以作为NLS方法的拟合函数，对应的观测数据为多组Fz和μ。

尽管有研究证明了NLS的有效性[9,10]，这种方法也有一些缺点。基于NLS的估计结果的稳定性并不总能被保证，也很难量化其稳定性和收敛性[5]。此外，NLS的一个关键缺点是计算量很大。在低速单片机中，它可能无法保持相同水平的性能。

作为这个方法的替代方案，我们提出使用神经网络来解决这个问题。这个方法是以类似的形式来实现的，同样使用一组可观测的数据，将其输入一个时延神经网络。

4  基于神经网络的轮胎-路面附着系数估计

本节提出一个时延神经网络来检测TRFC。这种方法有两个主要好处：首先，TDNN可以建立网络连接和输入输出之间的关系，而不是将整个复杂的轮胎模型存储在控制器中，这样可以显著减少计算量，保证实时性，避免由于模型差异造成的模型误差。其次，由于TDNN是由实测数据进行训练的，因此能够创建从输入参数到附着系数的映射，准确地捕捉隐藏在数据中的时间结构。

如解析模型(2)-(4)所示，附着系数与α，Fz和Fy直接相关，因此选择这些参数输入神经网络。图3为TRFC估计器的整体结构。


图3 附着系数估计器框图

尽管已经存在轮胎力传感器，但轮胎力仍然难以测量，而且这类传感器非常昂贵。为解决这一问题，采用卡尔曼滤波算法进行轮胎力的估计。这里，我们使用了[38,39]中提出的方法来估计Fy和Fz，所使用的传感器为普通的车辆传感器，如GPS和惯性测量单元(IMU)。该轮胎力观测器基于非线性车辆动力学模型，采用扩展卡尔曼滤波(EKF)算法。在一个级联结构中使用三个估计器来将各方向的力解耦。对于垂直力，采用三维车辆模型建立一个12状态非线性系统。对于纵向和横向力，采用平面车辆模型建立两个7状态非线性系统。综合考虑精度和模型复杂度，本文选择Dugoff轮胎模型作为分析模型。表1列出了估计过程需要测量的所有信号。

表1 需要测量的信号及描述


上述关于滤波器和观测器的研究表明，基于EKF的轮胎力估计方法对TRFC的变化具有鲁棒性。在更新阶段，估计器使用惯性测量单元测得的加速度信号，它可以有效地修正预测阶段的力的估计误差。用这种方法，各个轮胎力被分别检测，这也使对每个车轮分别估计TRFC成为可能。轮胎侧偏角α直接由(1)得出。

此外，还应做一个补充考虑，以确保算法输出合理的估计结果。由于传感器噪声和侧向力以及侧偏角（尤其是后者）固有的波动，TDNN的输入量应进行低通滤波，以防止高频扰动传播到TRFC估计器，如图3所示。
在开始进行所提出的神经网络的学习过程之前，有必要对模型做一个补充。当考虑附着系数与各轮胎测量值之间的相关性时，归一化的侧向力Fy/Fz的相关系数明显高于单独的各个力，如表2所示。根据式(1)，侧偏角α主要由车辆各向速度、横摆角速度等决定，而垂向力Fz主要受到车辆俯仰和侧倾运动的影响。这两个量仅受到附着系数的间接影响，因此相关性较低。

表2 指定变量之间的相关系数


基于此，归一化的侧向力Fy/Fz应该代替单独的Fy和Fz被选为神经网络的输入量之一。这一选择的依据还在于摩擦圆的概念，在摩擦圆的概念中，合力的最大值由一个圆周确定(直接受附着系数影响)，这个值可以分解为各方向的归一化力的极限值[40]。

值得注意的是，正侧向力（右转）和附着系数是正相关的。而负的侧向力（左转）应该与附着系数有一个相近大小的负相关的关系。这里侧向力信号的正负只代表在参考系中的方向。

TDNN的结构如图4所示。两个变量被选为其输入：由卡尔曼滤波估计器得到的归一化的侧向力Fy/Fz，以及计算得到的轮胎侧偏角α。


图4 时延神经网络结构图

提出的TDNN结构如下（如图4）：含有最近50个采样值（数据观察窗口大小N=50）的两个输入变量，以及一个含有50个神经元的隐藏层。激活函数选为非线性的Sigmoid函数。

在数据收集阶段，我们通过100Hz采样频率的仿真实验获取了约200000组原始数据。各变量选取的变化范围如表3所示。试验中，附着系数设置为一定间隔的多个等级，记录车辆的响应（α，Fy，Fz）数据。值得注意的是，根据系统的对称性，车辆右转时的响应和左转时的响应也有对称性。在数据集中进行的数据增强可以参考这一点。

表3 试验中各变量的变化范围


观察窗口的大小是根据我们系统的性质选择的。在附着系数突变时的响应变化图如图5所示。侧偏角响应（相应地，侧向力的响应，如图2所示）的平均上升时间约为0.2s。为了捕捉车辆在这些瞬态过程中的特性，我们选择窗口大小对应的时间为上升时间的约两倍。因此，选取了N=50，对应的时间为0.5s。


图5 附着系数突变时的响应过程。60s时，附着系数从0.8变为0.6；80s时，附着系数从0.6变为0.9。左右图中响应的上升时间分别为0.21s和0.19s

与经典的神经网络一样，时延神经网络也有一个训练阶段。训练过程用MATLAB的神经网络工具箱完成。将收集到的数据随机选取70%作为训练集，15%作为验证集，15%作为测试集。在训练集上，用Levenberg–Marquardt算法进行了1000次迭代。

训练过程和后续的验证过程均在一台配有四核4.00GHz IntelCore i7-6700K处理器、NVIDIA GeForce GTX 950、32GB RAM和Ubuntu 16 LTS OS的计算机上进行。训练过程花费时间为7002s。
图6为训练后的神经网络在数据集上的误差。对于约88%的数据的估计结果的误差分布在零附近。


图6 TDNN在数据集上的误差直方图

TDNN估计值与真值的线性回归相关系数(R)和均方误差(MSE)如表4所示。模型的R值为0.94-0.95，表明网络具有很好的表现附着系数变化情况的潜力。还需要注意的是，对于训练集、验证集和测试集，R和MSE值都很接近，说明网络没有过拟合。

表4 相关系数和均方误差


5  试验结果

本节给出的仿真结果通过MATLAB/Simulink获得。使用了一种具有代表性和真实性的整车动力学模型（包括转向系统、动力系统、悬架系统和表征轮胎-地面相互作用的Pacejka轮胎模型），并考虑了以下运动：

— 车体的纵向、侧向和垂向运动
— 车轮旋转运动
— 非簧载部分运动
— 车体俯仰、侧倾和横摆运动

车辆模型中的参数如表5所示。所有数值选取自[41]，其中给出了完整的车辆建模过程和数据验证。动力学仿真模型为一个32状态模型。模型中设置为后轴驱动，且可以提供参考的车辆状态和测量信号值。在模拟测量信号值上添加高斯噪声（根据商用MTi Xsens传感器（规格为MTi-G-700）设置），以真实地再现一个实际应用场景。

表5 车辆模型主要参数[41]


此处给出了三个典型工况下的仿真结果。表6为每个工况的细节和设置目的。图7为每个驾驶场景的物理表示，其中颜色表示附着系数。附着系数会随着驾驶过程发生变化。

表6 每个工况的细节和考察目的



图7 含有变化的附着系数的道路布局示意图

仿真试验中，利用PID控制器使车辆以恒定的纵向速度行驶[42]。事实上，在恒定纵向速度行驶时，轮胎纵向力相对而言很小，也不会因为耦合效应对侧向力产生较大影响[43]。

每个试验均在不同的理想表面上进行，其中附着系数μ=1.0的表面对应干燥路面，μ=0.8的表面对应潮湿路面，μ=0.6的表面对应碎石路面[44]。

5.1  恒定方向盘角速度驾驶工况

图8为恒定方向盘角速度左转工况的仿真试验所得的数据。试验中，车轮偏转角从0度到-18度均匀变化。为了使NLS和TDNN估计器得到有效的数据，首先设置一个侧偏角门限值αthres。只有侧偏角高于αthres时，估计器才会开始工作，否则可能不能保证得到一个可靠的结果。


图8 恒定方向盘角速度驾驶工况的右前轮侧向力和侧偏角

TDNN估计器将被用于与NLS估计器进行比较。为了显示NLS与数学模型的相关性，选择Dugoff和Brush模型作为拟合函数进行非线性回归。在本研究中，其窗口大小均设置为N=50。

在设置αthres=1度时，NLS和TDNN算法需要等待侧偏角超过αthres时(t=12s)才开始估计附着系数（如图9）。估计值为式(6)表示的优化问题中的最优解x*。在12s之前，估计结果保持为初始值μ0=0.5。


图9 不同方法的附着系数估计结果

在估计过程中，附着系数估计结果的缓慢上升在意料之中。开始时，轮胎特性处于线性区，侧向力尚未达到峰值，两种方法都低估了附着系数。随着侧偏角的增大，侧向力逐渐达到峰值，估计结果也逐渐达到最终结果。因此，足够大的侧偏角对于TDNN和NLS两种方法的估计结果的精确性和稳定性都是必要的，而设置侧偏角门限值也是不可或缺的。

在NLS方法中，模型误差比较明显。由于建模时使用的Pacejka模型和用于估计器的Brush模型和Dugoff模型的差异，各估计器最终估计结果的收敛值和真值之间都有不一致的现象（这一点在第2节中已讨论）。

5.2  恒定方向盘转角驾驶工况1

在这组试验中，附着系数被设置为5个等级，为1.0-0.6之间的随机值，在每个等长度的时间间隔后变化一次。车辆设置为左转状态，其左前轮和右前轮的偏转角分别设置为恒定值-18.36度和-15.82度。这些值符合Ackermann转向几何。因此，内侧车轮处的侧偏角比外侧车轮大，如图10所示。此外，由于载荷转移现象，右侧轮的垂向力比左侧大。其原因是车辆侧倾现象导致的车辆质心位置相对于车轮的变化。



图10 恒定方向盘转角驾驶工况1的轮胎侧向力、垂向力和侧偏角

TRFC估计结果如图11所示。可以注意到，左前轮处的估计结果比右侧轮更准确，振荡也更小。如前所述，得到理想的估计结果的必要条件之一是有足够大的侧向激励（足够大的侧偏角）。


图11 左前轮和右前轮处的附着系数估计结果

这个工况凸显了NLS方法对拟合函数形式的依赖性。NLS对于每个等级的附着系数的估计结果均有一定的静态误差，但TDNN方法得出了可靠的估计结果。自然地，真实轮胎的动力学性能与推导的数学模型之间存在差异（如图2）。因此，NLS方法产生一定的估计误差是可以预料的。

表7列出了左前轮和右前轮处估计结果的均方根(RMS)误差。总体而言，两种方法的估计精度都较高，体现了实际应用的良好前景。

表7 附着系数估计结果RMS误差


此外，TDNN方法的收敛速度比NLS稍快一些。图12用局部放大图11的其中三个附着系数突变处的方式凸显了这一点。TDNN方法的估计结果以更快的速度收敛到了一个更准确的值上。这个现象的原因是在训练过程中，网络输入和输出在数据集上得到了较为准确的映射关系。


图12 附着系数估计结果收敛速度对比

5.3  恒定方向盘转角驾驶工况2

工况1中两侧车轮处的附着系数设置为相同的值，而此处的附着系数参考真值针对两侧车轮设置成两个不同大小的值。左右轮附着系数参考真值在10s时发生一次变化。左前轮的TRFC从0.9过渡到0.8，而右前轮的TRFC从0.8过渡到0.7。

车辆模型基于恒定的左转工况被设置在平衡点上。每个轮胎的力和附着系数是需要分别被估计的，这将为稳定性控制系统提供最重要的信息。因此，进行该工况以验证估计器可以分别识别每个轮胎的附着系数并证明估计器确实对于每个车轮是独立的。

图13为仿真右转向工况下所得的侧偏角，侧向轮胎力和垂向轮胎力。在10s瞬间，每个轮胎的路面附着系数都减小到一个不同的值。同样，由于操纵特性，垂向轮胎力保持恒定，附着系数的变化往往会影响轮胎侧向力与侧偏角大小。


图13 恒定方向盘转角驾驶工况2的轮胎侧向力、垂向力和侧偏角

如图14为基于不同方法的在工况2下的估计结果。借助TDNN方法，可以较为准确地估算出各个车轮处的附着系数。由于该工况轮胎侧偏角大于工况1，工况2满足了所需的大侧向力激励，因此给出了比较准确的估计值。但是，在NLS的估计结果上，仍然可以看到在过渡期间的恒定误差。当估计器的估计结果被用于控制目的时，应考虑此误差特性。


图14 左前轮和右前轮处的附着系数估计结果

如表8列出的RMS误差所示，TDNN表现出更好的估计性能。可以注意到，基于回归的方法仍然表现出因模型差异导致的后视偏差。

表8 附着系数估计结果RMS误差（工况2）


当比较两种方法的性能和计算效率时，发现两种方法的处理时间存在显著差异。如图15所示为两种方法的计算时间的标准化直方图。其中每个时间点计算出的值是从14,000个数据信号中获得的。


图15 两种方法的计算时间标准化直方图

显然，TDNN算法的计算时间比NLS短。总的来说，TDNN平均处理信号的时间为0.594毫秒（对应一次迭代），而NLS的平均时间为3.379毫秒。这可以允许整个系统拥有更高的采样频率。

6  结论

在这项研究中，我们提出了一种基于时延神经网络的分层TRFC估计方法，并使用相同的数据观察窗口将其与经典的非线性回归方法进行了比较。在三种不同工况下，基于变化的路面状态类型进行了总体估计算法的验证评估。在仿真中使用了针对MATLAB/Simulink平台的高保真车辆多体动力学模型。

尽管使用这两种算法都可以准确地识别附着系数，但是基于侧向力的估计方法存在一个主要缺点：为了得到精准的估计结果，需要足够的侧向激励。对TRFC的提前辨识是被期望的，然而这两种方法都有类似的表现：都需要一定的收敛时间以满足估计器所需要的特定激励阈值。

作为一种代数方法，NLS方法在很大程度上依赖于准确的模型，模型失真可能会导致估计误差。实际上，NLS需要一个用于精确调整参数的预先指定的参数函数。因此，如果给定的参数函数不准确，则可能会出现一定估计误差。

另一方面，TDNN方法不依赖于任何数学轮胎模型，但是需要足够且具有代表性的数据库。在本文中，与经典回归方法相比，TDNN还能够提供具有更低RMS误差的估计值。此外，该方法需要的计算时间较短，可能是针对嵌入式系统实时性需求的最佳选择。

由于所提出的方法仅在理论上进行了分析并通过仿真进行了验证，因此在后续工作中需要进行实车测试以验证所提出的方法。未来的工作可能还包括设计一个不仅包含轮胎侧向力信息，还包含轮胎纵向力，滑移率和回正力矩信息的时延神经网络。


参考文献