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混合自治交通流中的交通信号配时与轨迹优化
2021-12-07 20:35:08· 来源：同济智能汽车研究所
编者按：信号配时和轨迹优化（STTO）问题非常复杂，需要开发算法。以前的研究表明，在计算效率和解决方案性能之间存在一种权衡，其中更高效的算法与更简化的假设
编者按：信号配时和轨迹优化（STTO）问题非常复杂，需要开发算法。以前的研究表明，在计算效率和解决方案性能之间存在一种权衡，其中更高效的算法与更简化的假设相关。本文的贡献有三个方面：1）本研究引入了一种解决方案技术，它在计算效率和解决方案性能之间提供了平衡：它在不显著牺牲解决方案性能的情况下降低了STTO的计算复杂性。作者通过使用拉格朗日松弛法将STTO问题分解为多个车道级优化子问题，开发有效的解决方案实现了这一平衡。因此，可以分析不同布局和不同需求水平的交叉口；2） 作者缩小了拉格朗日松弛法的最优性差距，使其找到的解接近最优解。改进了拉格朗日松弛法在求解STTO问题时的收敛性，保证了在减少对偶间隙的情况下有效地找到近似最优解；3）所提出的算法不需要以下简化假设：a）所有自动化车辆的车队，b）强制车辆排成一列移动，c）以所需速度到达交叉口d）红色相位期间交叉口不存在初始队列。因此，可以在具有不同CAV市场渗透率的混合自治环境中研究CAV联合信号配时和轨迹优化的效果。仿真结果表明，该方法具有较高计算效率和更好的性能。
本文译自：
《TrafficSignal Timing and Trajectory Optimization in a Mixed Autonomy Traffic Stream》
文章来源：
IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2021
作者：
Mehrdad Tajalli，Ali Hajbabaie
原文链接：
https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=9357468
摘要：本研究介绍了一种在网联自动驾驶车辆（CAVs）和人驾驶车辆（HVs）混合的交叉口信号配时和轨迹优化方法。我们将把信号配时和轨迹控制联合表示为一个计算复杂的混合整数非线性规划问题。所开发的方法通过（a）将非线性约束线性化，并用混合整数解的紧凸壳重新表述问题；（b）将交叉口级别方案分解为多个车道级别方案，从而在计算效率和解决方案质量之间取得平衡。因此，每个单独的控制器联合优化车道上CAVs的轨迹以及与该车道相关的信号配时参数。此设置将允许为具有不同需求级别的复杂交叉口找到具有较小对偶间隙的近似最优解决方案。案例研究结果表明，该方法在不超过0.1%的对偶间隙下能有效地找到问题的解。我们将开发的方法与现有的信号配时和轨迹控制方法进行了比较，发现在不同情况下，平均行程时间减少了13%至41%，燃油消耗量减少了1%至31%。
关键词：信号配时与轨迹优化（STTO）,网联自动驾驶车辆（CAV）,人驾驶车辆（HV）,拉格朗日松弛原理（LR）,混合整数非线性规划（MINLP）
1 引言
最近的研究表明，网联自动驾驶车辆（CAVs）的轨迹优化和交叉口信号灯配时优化可以明显改善交通运行[1]-[5]。CAVs的轨迹和信号配时优化有助于更准确地规划车辆到达交叉口的时间，以更有效地利用绿灯持续时间。因此，交叉口的停车次数、车辆油耗和行驶延误将显著减少。然而，信号控制器和接近车辆之间的合作需要大量的通信和计算能力[6]。信号控制器不可能处理所有需要的计算。事实上，以前的研究表明信号配时和轨迹优化的有效性在如下几种情况：a）在布局简单的交叉口（例如，单行道[2]，[7]或无转弯运动[8]），（b）在低交通量[2]，[7]-[9]下，或（c）使用简化或限制性假设（例如，使用一阶交通流模型来更新CAVs的轨迹 [4]、[10]或优化部分CAVs的轨迹 [1]）。近似方法和启发式算法也用于解决更复杂条件下的问题；然而，确以牺牲解决方案的性能为代价[11]，[12]。
图1 与CAV和HV交互的信号控制器
本文提出了一种在信号交叉口进行CAVs轨迹优化和信号配时优化联合的方法，该方法在计算效率和解决方案性能之间取得了平衡。如图1所示，该方法设计用于CAVs和HVs的混合交通流，其中CAV的移动由中央控制，并通过信号交叉口的车辆到基础设施通信系统与之通信。该方法要求已知交叉口附近所有车辆（CAV和HVs）的初始位置和速度，并使用跟车概念预测规划范围内HVs的位置。HVs的运动没有得到优化。我们假设所有车辆都连接在一起（只是为了收集车辆位置和速度），或者交叉口配备了能够提供车辆位置和速度的探测器（例如雷达装置或摄像机）。请注意，如果HVs不向信号控制器发送信息，只要检测器可用于收集所需数据，建议的算法就可以工作。本研究将联合优化描述为一个混合整数非线性规划问题，其目标是减少交叉口处车辆的总行程时间和车辆间速度差异。决策变量是CAVs的加速率和信号定时参数。采用由Helly开发的线性跟驰模型将HVs和CAVs之间的相互作用纳入优化问题[13]。我们修改了线性模型，通过加入信号定时参数使其对交通信号灯做出响应。信号定时参数通过无周期和无相位计划进行优化，该计划除黄色时间间隔外，还满足最小和最大绿色时间约束。信号配时和轨迹优化（STTO）问题非常复杂，尤其是在有人驾驶车辆的情况下，需要开发计算效率高的算法来找到近似最优解。以前的研究表明，在计算效率和结果的最优性之间存在着平衡关系。本研究引入了一种解决方案，利用拉格朗日松弛技术将交叉口信号配时和轨迹优化问题分解为几个车道级优化子问题，从而降低STTO问题的复杂性，其中，控制器分别优化交叉口每条车道上的信号配时参数和CAVs的轨迹。因此，STTO可以扩展到具有高需求水平的更复杂交叉口布局。此外，还提出了一种用于收紧混合整数可行域凸包的基于交叉口冲突域图的最大团集的问题重新表述方法，提高拉格朗日松弛技术的收敛性，从而减小最优性差距。通过交叉口所有控制器之间的协商过程，找到接近最优的交叉口信号配时参数和CAVs轨迹。此外，我们提出了一个简单的优化问题，为信号配时计划提供了一个可行的解决方案。因此，在没有上述限制性假设的情况下，找到可行且高质量的解决方案是可能的。
在本文的剩余部分，将回顾相关文献,接下来将讨论问题公式。然后，详细介绍了求解技术，包括问题的重新表述和拉格朗日松弛技术。接下来将提供将所提出的算法应用于案例研究的结果，最后给出结论。
2 背景
A.交叉口的轨迹规划
利用先进的信号相位和配时（SPaT）信息优化信号交叉口的CAVs轨迹，可提高交通安全性、机动性和燃油消耗率[14]–[17]。美国国家公路交通安全管理局（NHTSA）报告称，SPaT广播能够将闯红灯次数和能耗分别减少90%和35%[18]。此外，可以规划车辆轨迹，以避免在交叉口停车并最大限度地减少燃油消耗。Xiaet al.[19]表明，通过在固定时间信号交叉口进行建议速度系统试验，可以降低14%的油耗。Weiet al.[20]表明，优化接近信号交叉口的排中领先车辆的轨迹可以有效地管理交通拥堵并增加交叉口的通行能力。当所有车辆都是自动驾驶车辆时，在无信号交叉口控制CAVs的轨迹，可提供机会实现交叉口的最高通行能力，同时通过防止车辆之间的碰撞来保持安全[21]–[24]。例如，Mirheliet等人[25]表明，与优化的全驱动信号定时计划相比，在无信号交叉口100%CAVs的总行程时间减少到70.5%。
B.轨迹和信号配时优化
Liet al.[7]提出单行道交叉口上CAVs的信号配时和轨迹优化方案，假设所有车辆完全连接，并将遵循指定的最佳轨迹。他们列举了所有可能的信号定时计划和每个CAVs的优化轨迹，目标是最小化平均延误。他们提出的方法与优化的全驱动信号定时计划相比将平均延误减少到36.9%，并将吞吐量提高到20.2%。由于需要列举所有可能的信号配时计划，该方法不适用于更复杂的交叉口。Junget al.[8]开发了一个双层优化方法，用于在一个简单的十字交叉口（每个方向只有一条直达路段，交通流中只有CAVs）处查找交通信号定时参数和CAVs轨迹。基于车辆到达交叉口的估计时间，穷举搜索法在上层找到了最低交叉口延误。然后，遗传算法在下层确定以最小化总油耗为目标的CAVs的轨迹。通过这项研究，车辆行驶时间和燃油消耗量分别减少了12%和10%。穷举搜索和遗传算法的结合可能不足以有效地解决复杂的优化问题。类似地，Yangetal.[2]使用分支定界技术在具有两条单向街道的隔离交叉口处寻找信号配时参数。本研究考虑了三种类型的车辆，包括具有不同市场渗透率的传统车辆、网联人工驾驶车辆以及网联自动化车辆。在上层，根据估计的车辆到达时间最小化交叉口总延误。针对每个信号配时计划，在下层问题中对CAVs的轨迹进行了优化，以最大化其进入交叉口的速度。本研究假设每个排长都是CAVs，排长总是在绿色信号灯未亮时到达交叉口。对于交通量大的复杂交叉口，该算法可能效率不高，因为需要针对分支定界算法确定的每一组信号配时参数对轨迹进行优化。Xuet al.[9]开发了一个双层优化方法，以最小化上层的总行驶时间，并最小化下层每辆车的燃油消耗。通过枚举找到信号配时计划。然后，通过使用插值多项式函数逼近状态变量和控制变量，找到每个方案的最优车辆轨迹。Pourmehrabet al.[26]提出了一种基于车辆到达时间调整现有信号配时计划的方法，以最大限度地利用绿灯时间。此外，对领队自动驾驶车辆的行驶轨迹进行优化，以最大限度地减少行程时间延迟。然而，本研究主要关注信号配时计划的可行性，而不是其最优性（根据一组定义的规则调整信号配时参数，以找到与优化轨迹的可行协调）。信号定时控制策略是将信号延长或反复切换到另一个相位，直到找到一个能提供绿灯到达的组合。相比之下，我们提出的方法联合优化信号配时参数和车辆轨迹，从而提高交通运行效率。当交叉口布局复杂、相位数量增加或需求水平较高时，如先前研究中所述的枚举方法变得无效。因此，一些研究提出了启发式方法或考虑简化假设，以有效地解决信号配时和轨迹优化问题。例如，Feng et al.[27]开发了一种信号配时和排队CAVs轨迹的联合优化方法。他们将信号相位分为几个阶段，并使用动态规划方法来找到每个阶段的信号配时参数。该方法假设排长恰好在绿灯时间间隔开始时到达交叉口停车线，可以解析地找到最优解。然而，这种假设可能会限制动态规划框架中信号配时计划的选择，特别是当排长不是CAVs时。此外，由于研究显示了交通量非常低的简单场景的性能结果，因此建议的方法对高交通量的有效性尚不清楚。研究结果表明，排长对信号配时和轨迹的联合优化可将车辆延误和二氧化碳排放分别减少24%和13.8%。Guo等人[3]提出了一种两步优化信号配时和CAVs轨迹的方法。在第一步中，找到了使交叉口延误最小化的信号配时参数。在第二步中，为计划的信号定时设计了最佳轨迹。通过动态规划找到信号配时参数，并通过射击启发式迭代评估每个信号配时计划对轨迹的影响。射击启发式被证明可以估计CAVs的高性能轨迹。然而，这种方法的可行性仅限于路段长度足以让车辆选择适当机动的交叉口。此外，交叉口长队的存在会导致通过射击启发式寻找不可行解。Yuet等人[1]优化了信号配时参数，如相序、绿灯启动时间、每个相位的持续时间以及隔离交叉口的周期长度。此外，他们还优化了车辆到达时间，以及在具有直行、右转和左转运动的十字交叉口中的换道策略。本研究利用规划地平线程序来解决混合整数线性规划（MILP）问题。然而，它假设（1）所有车辆都是CAVs，（2）在同一周期内通过交叉口的同一车道上的车辆都在同一排。因此，他们只优化了领头车辆的轨迹（到达时间），其他跟随车辆使用跟车模型跟随领头车辆。此外，他们假设所有车辆以期望的速度到达交叉口，且交叉口不存在排队。这些假设限制了该方法在低CAVs市场渗透率水平上的应用。Liet al.[28]结合具有多个交叉口的主干道的信号配时计划，优化电动车辆的轨迹。本研究的目的是通过优化信号配时来最小化交通延误，并通过优化电动汽车的轨迹来节约能源。为了解决这一复杂的优化问题，采用了遗传算法和粒子群算法相结合的混合启发式技术来生成可行的信号配时计划，从而评估该信号的最优轨迹。该研究通过从每个车辆的角度考虑最优轨迹，而不考虑车辆之间的协调，从而降低了问题的复杂性。因此，该解决方案可能无法提高系统级性能。Li和Zhou[4]优化了CAVs在与人驾驶车辆混合环境中的信号配时和轨迹。他们通过在相位时间交通超网络中表示交通动态和信号定时约束来降低问题的复杂性。然而，这种表示需要一阶异构流量模型。虽然他们提出的方法允许研究大规模网络，但其操作精度不如我们研究中使用跟车模型的模型精度高。当考虑二阶交通流或微观跟驰模型时，相位时间交通超网络方法的性能不明确，问题的复杂性将显著增加。在一项类似的研究中，Liet al.[10]使用拉格朗日松弛技术来解决交通网络中的信号定时和路由问题。拉格朗日松弛法用于松弛链路容量约束，并将优化程序分解为路由引导和信号优化子问题。然而，优化车辆路径不同于轨迹优化，因为路径优化不会在短时间间隔内控制车辆的位置。尽管拉格朗日松弛技术降低了所提出问题的复杂性，但本研究中报告的最优性差距高达30%，这导致了次优解。
3 问题表述
本研究协同优化了所有CAVs的轨迹和信号配时参数。假设基础设施通过雷达装置、视频探测器或连接性知道人类驾驶车辆的初始位置和速度。我们定义L为交叉口所有车道的集合，I为交叉口附近所有车辆的集合。此外，
、
和
分别表示表示车道
上所有车辆、CAVs和HVs的集合, 我们将
定义为与车道
冲突的所有车道的集合。图2展示了孤立交叉点中的定义集。
图2 STTO问题中定义的集合和参数
我们分别将
和
定义为信号配时和轨迹优化时间步长集。请注意，车辆轨迹和信号正时更新时间步长（
和
）是不同的。轨迹更新的频率高于信号配时参数更新的频率，以考虑驾驶员行为的不确定性，并捕捉预测和实际车辆轨迹之间的任何差异。方程式（1）显示了这两个时间步之间的关系。
运算符表示对其中相应的参数进行取整。
信号配时的状态变量，包括在车道
上的绿灯时间
、黄灯时间
和时间步长
，将根据在时间戳
时接近交叉口车道
的车辆
的位置
和速度
信息进行优化。车辆
在时间戳
的加速率
也是CAVs运动规划中的控
制变量。表1提供问题表达中使用的变量、集合和参数的详细定义。
表1 集合、决策变量和参数的定义
A. 目标函数
STTO的目标函数如（2）所示，
包含两项第一项使每辆车距车道
起点的距离最大化，车辆
位于图2所示位置[29]，[30]。对于位于车道
的车辆
，位置权重因子
乘以目标函数的第一项，以避免不断为需求较高的引道提供服务，并防止交叉口次要方向的排队。我们将该权重的值设置为每辆车进入交叉口附近后经历的当前延误（即自由流行驶时间减去实际行驶时间）。因此，在经历较多延误的车道上，车辆将被分配更高的优先级。请注意，权重因子在规划范围内是固定的。目标函数的第二项通过最小化两个连续时间步之间每个CAVs的速度差来平滑CAVs的运动。Tajalli和Hajbabaie[14]表明，将速度差降至最低会使交叉口的停车次数减少。权重因子
是优化方案的输入，以在目标函数的两项之间提供所需的平衡。β值越高，目标函数的第一项优先级越高，β值越低，目标函数的第二项优先级越高。
B. 约束
车辆的速度和位置根据基本运动方程更新，如约束条件（3）和（4）所示
1）车辆跟驰约束：
需要估计HVs的位置和速度，以优化信号配时参数和CAVs的轨迹。因此，根据车辆跟驰行为预测HVs的未来轨迹。本研究考虑了Helly（1959）开发的线性跟驰模型。该跟驰模型用于建模自适应和协作自适应巡航控制系统[31]，[32]。此外，Panwai和Dia（2005）表明Helly的跟驰模型与现实世界的交通数据具有适当的拟合。虽然人类驾驶的本质是随机的，但确定性跟驰模型在我们的方法中适用，原因是车辆的初始位置每0.5s从网络中观察一次，这一部分将在方法学部分解释。在此跟驰模型中，跟车者对相对速度和与前面车辆的距离做出响应，有关加速率的计算公式见公式（5）。参数α1和α2是固定的，具有正值，应分别在[0.17,1.3]和[1/4α1,1/2α1]的范围内[34]，[35]。
方程式（5）中的第一项考虑了领先和跟随车辆之间的相对速度。正速度差（即先导以更高的速度行驶）导致从动件的正加速度，而负速度差迫使从动件减速。第二项考虑了连续车辆之间的相对距离。我们增强了跟车模型，以考虑交通信号，使车辆在接近红色信号时减速。交通信号灯被视为一个虚拟车辆，停车杆处的速度为零（对于红色信号灯），或交叉口处的最大速度（对于绿色信号灯）。方程式（6）显示了接近停车杆时车辆加速度是如何更新的。请注意，当信号为红色，虚拟停止车辆位于交叉口停车杆处，车辆与交叉口停车杆之间应有理想的安全距离ξ。但是，当交通灯为绿色时，前面虚拟车辆的位置将变为与后面车辆的距离较远，并且与交叉口停车杆的期望安全距离将减小为零。此外，应注意的是，仅当车辆位于交叉口停车线之前时，即
，才需要建立车辆和交通灯之间的连接。方程式（6）应在CAV通过交叉口后变为非活动状态。当信号灯为绿色时，将信号配时变量
与大系数M相乘。方程（6）的第二项将虚拟车辆移动到距离后续车辆很远的位置。因此，车辆不再对其作出反应。方程式（6）中引入的二进制变量
，用于在交通灯和车辆通过交叉口停车线后
解除它们之间的联系，当车辆位于交叉口停车线上游时
变为零，当车辆通过交叉口停车线时
变为1。如方程（7）所示
方程式（5）和（6）所示的线性跟驰模型不会将加速度和速度限制在最小值和最大值之间。因此，我们建立了基于最大-最小值函数的跟车模型，如等式（8）所示。该公式是所提出的跟驰模型的完整形式，该模型描述了诸如在自由流条件下移动、在静止和非静止条件下跟随其他车辆、接近慢速或静止车辆以及红色信号等情况。
2）CAV运动约束：
目标函数（2）平滑CAVs的轨迹，以防止在交叉口频繁停车。约束（9）确保CAV与前车之间的安全距离。两辆连续车辆之间的距离是期望安全距离ξ、平均车辆长度
和在后续车辆反应时间内可通过的距离
的函数。参数
表示CAVs的反应时间。
当信号灯不是绿色时，约束（10）用于防止CAV进入交叉口区域。当CAV未到达交叉口且信号灯为红色时，车辆与交叉口停车线之间的距离应大于或等于安全距离，如约束（10）所示。
约束条件（11）和（12）分别将CAVs的加速度和速度限制在允许范围内。
3）信号时长约束：
假设信号定时是无周期和无相位的；但是，仅限于非冲突运动。例如，图3显示了北行和南行引道的所有允许移动。我们假设直行和右转可以在同一车道上行驶。考虑了几个约束条件，以防止车辆在冲突运动中发生碰撞。
图3 北向和南向通道的允许动作
约束条件（13）确保在时间步长
时，没有一对冲突的运动能够接收到非红色交通灯。
约束条件（14）确保分配给车道的绿灯时间小于或等于最大绿灯时间。约束条件（15）确保车道组的绿灯持续时间大于或等于最小绿灯时间。
约束（16）定义黄色时间的持续时间，约束（17）确保信号在绿色时间间隔结束时从绿色切换为黄色。参数y是黄色的时间间隔。约束（18）确保信号定时变量的完整性。
综上所述，信号配时和轨迹优化可以表示成如下形式
4 方法
该公式是一个混合整数非线性规划。由于存在非线性约束和二元变量，该优化程序难以有效求解。我们首先将目标函数（2）、跟车模型（8）和条件约束线性化，以降低所提出公式的计算复杂性。我们使用拉格朗日松弛技术将交叉层问题分解为几个车道级子问题，降低了计算复杂度，并且可以为每个问题分配一个控制器。控制器将通过共享拉格朗日因子，就信号定时参数和CAVs轨迹达成共识，以确保在满足冲突避免约束（13）时找到接近最优的解决方案。
A. 线性化
目标函数（2）的第二项包含一个绝对值函数，它是凸但非线性的。我们为每辆车引入两个辅助非负变量
和
使绝对值函数线性化。将约束（20）和（21）添加到原始问题中，以强制
和
的差值等于绝对值函数中的项。目标函数（2）的线性形式如（19）所示，其中辅助变量之和最小化。
由于存在max-min函数，约束（8）是非线性的。我们通过将等式约束转化为几个不等式，并在目标函数中添加惩罚项来提供这些约束的线性形式。如约束（22）-（25）所示，约束（8）的最小部分由小于或等于的不等式表示
约束（26）-（27）解除函数（8）的最大部分，该部分由大于或等于不等式表示。约束条件（28）确保
大于或等于松弛最小值函数的
。
建议的线性化（22）-（28）是松散的，不能等价地表示（8）的最大-最小形式。为了解决这个问题，我们对
的非负差异在目标函数中加大的惩罚系数M。新的目标函数如（29）所示。
B. 拉格朗日松弛
前一节中描述的线性化技术将混合整数非线性问题（MINLP）转化为混合整数线性问题（MILP）。虽然这种转换降低了问题的复杂性，但整数信号定时和其他变量的存在使得问题仍然难以解决。我们开发了一种拉格朗日松弛技术，该技术将问题分解为几个车道级优化子问题，其中，交叉口每个车道上的最佳信号配时和车辆轨迹分别并行求解。然而，拉格朗日松弛可能对MILP不具有强对偶性[36]，[37]。因此，我们用一个优越的解空间结构来重新构造问题，以克服这个问题。然后，引入一个简单的优化问题，以确保信号配时计划的可行解。
图4 四通道的交叉口冲突图，有通过和左转的动作
1）问题重新表述：
成对约束（13）是车道之间唯一常见的约束，可防止冲突运动同时接收非红色灯信号。解除这些约束并使用拉格朗日因子将其添加到目标函数中，将导致车道级别分解。拉格朗日松弛法为基于弱对偶理论的非凸信号配时和轨迹优化问题的最优解提供了一个上界。由于成对约束的弱结构，由成对约束提供的可行凸多面体具有非整数极值点[38]。换句话说，与成对约束相关的约束太多（13），因此在大多数情况下，连续线性松弛包含许多分数[38]。因此，无法保证拉格朗日松弛收敛到具有非零对偶间隙的期望整数解[37]。找到定义整数解的凸包的超平面，除了满足成对约束外，还有助于克服松弛后寻找不可行解的困难。
当且仅当一对二进制节点中的两个节点
不能同时选择时（如两个相互冲突的运动），成对冲突约束（13）可以由包含边
的无向冲突图
表示。换句话说，当两个二进制节点中最多有一个的值是MILP的解时，E是两个二进制节点之间的边。图4显示了具有四个引道和八条车道的交叉口的冲突图，其中包含直行和左转运动。图中的节点是与车道
相关联的信号头，每一条边代表一对由（13）表示的成对冲突约束。
图4所示的图表示只有左转运动和直行运动交叉口处的所有冲突，假设右转运动与直行运动一起操作。成对冲突约束（13）是一组更强大的约束的特例，称为派系[39]。派系是一组相互冲突的运动，在这项研究中，最多有一个派系在同一时间可以收到非红色信号。
我们定义
作为冲突图G中相互连接的节点集，K是所有可能派系的集合，
代表集团k的所有成员, 其中每个成员在图G中相互连接,为了在k中设置
，要求所有潜在节点
可以通过图G的边相互连接，例如，
是图4所示的交叉点的一个小团体，因为8，6和7之间的运动中最多有一个可以得到非红色信号。不同运动之间的多个成对约束（13）可以在一个派系中表示。因此，可以定义一组完整的派系约束，这些约束使用较少数量的约束施加所有边限制。我们将最大派系定义为不能通过添加任何附加节点来扩大的派系。我们定义
为绿灯
和黄灯
的总和。这是二进制的，因为绿色和黄色信号定时状态中最多有一个值为1，请参见约束(32)-(34)。
只包括左转运动的交叉口图不能具有大于4的派系。因此，任何规模为4的派系都是最大派系。此外，可以确认交叉口冲突图中的最大派系保持所有必要的限制，以防止两个冲突运动同时接收非红色信号。此外，大小为4的最大系是成对约束（13）[40]中所有可行区域的凸包的面定义。因此，可行凸包被收紧，松弛约束的数量显著减少。因此，在拉格朗日松弛问题中，对偶间隙减小。
2）简化STTO和相应的对偶公式：
如前一节所述，将约束（13）替换为约束（32）-（34），以实现简化STTO（SSTTO），如下所示。
解除复杂约束（33）将SSTTO问题分解为车道级子问题。因此，拉格朗日问题是通过对偶派系约束（33）得到的，如下所示
是属于派系
车道
的拉格朗日乘数因子，向量µ定义为所有拉格朗日乘数的向量。由于目标函数和LR问题的剩余约束在车道上是可分离的，每个车道
的子问题当双乘因子µ已知时，可单独并行求解。对偶可行点µ处的对偶函数
的值始终是最优值
的上界。因此，可以从对偶问题（37）的最优值中找到最尖锐的上界，其定义为
.
根据对偶理论，对偶问题（37）总是凸的。换句话说，解决拉格朗日对偶问题（37）等价于最小化凸分段线性函数。函数f：如果f是有限个仿射函数
的最大值,
是一个分段线性凸函数。我们可以利用这一特性，通过对偶割平面法找到最佳拉格朗日乘子µ。
3） 更新拉格朗日因子：
次梯度法是解决拉格朗日对偶问题和更新拉格朗日因子的常用方法。然而，它的收敛速度较慢[41]，[42]。次梯度法仅利用最后一次迭代的信息来更新拉格朗日因子。另一方面，使用双剖切面方法有助于存储所有先前发现的拉格朗日因子
、最佳拉格朗日松弛函数
和次梯度
的信息直至迭代n次，并在下一次迭代中使用它们找到新的拉格朗日乘子
[43]。对于每个松弛约束的次梯度
可从（38）中找到。
根据次梯度的定义，不等式（39）适用于所有µ
为了更新拉格朗日因子，引入了切割平面的稳定版本作为近端束方法[44]。与切割平面法类似，在近端束法中考虑了对偶函数（41）的多面体模型。此外，将二次惩罚项添加到目标函数（40）中以稳定围绕中心点的最优拉格朗日因子
。中心点被认为是迄今为止发现的能够显著改善解的最佳拉格朗日因子。参数
控制二次项的权重。通过迭代求解该优化问题并提供了一系列拉格朗日乘数因子
，迭代N被视为切割平面优化的最后一次迭代。
4）使不可行解可行：
迭代求解拉格朗日松弛问题收敛到
和
分别作为最佳拉格朗日因数，绿色信号状态和黄色信号状态。此外，它还产生了所有CAVs的相应最优轨迹。尽管重新表述该问题将对偶间隙降低到非常小的值，拉格朗日松弛的最优解仍然可能是不可行的信号定时参数，不满足松弛约束（33）。我们引入一个简单的优化问题，在这种情况下找到一个很好的可行信号定时解决方案。用（33）重新表示约束（13），将拉格朗日松弛问题的信号定时变量的解推到凸多面体中的可行整数值附近。因此，不需要改变拉格朗日松弛解的结构。我们需要将最终的不可行信号定时解决方案投影到最接近的可行整数点。引入补充优化问题FP，以确保松弛问题解的可行性。FP中的决策变量包含所有信号定时变量。此外，从拉格朗日松弛中发现的
和
是输入。所提出的优化问题的目标函数使信号定时变量与拉格朗日松弛的相应解之间的差异最小化。此外，所有信号定时约束，包括解除的成对约束，在FP中都被考虑到。假设最佳信号定时参数始终同时为至少两个运动提供非红色信号状态，则问题中还添加了约束条件（43）。如果信号配时的预测范围大于交叉口所有引道的最小绿灯时间，则优化问题FP始终是可行的。
5） 滚动时域控制：
将拉格朗日松弛法嵌入滚动时域控制（RHC）中，用于寻找最优信号和轨迹优化问题，以考虑问题的动态性质。图5显示了通用解决方案技术框架。
图5 嵌入RHC的拉格朗日松弛过程
首先，我们在时间步长0处初始化拉格朗日因数。然后，对每个车道组求解LR-SSTTO规划，确定信号配时参数和车辆轨迹。解被传递到对偶函数（DO）规划以更新拉格朗日因数。通过计算SSTTO问题的上下界差来评价收敛准则。然后对信号定时参数的可行性进行验证。如果解不可行，则解决优化问题FP，根据可行的信号计划更新最优CAV和HV轨迹。如果拉格朗日松弛法的解是可行的，则它们是原问题的最优解，不需要求解FP。RHC在进入Vissim微模拟器的第一个时间步中，除了信号配时计划外，还实施CAVs的轨迹。然后，根据最后更新的拉格朗日松弛解更新拉格朗日因子，规划范围向前滚动一个时间步，直到研究阶段结束。
5 案例研究
我们将建议的解决方案技术应用于具有专用左转车道的孤立十字交叉口，如图4所示。假设车辆在到达交叉口附近之前已在所需车道上。交叉口前后的探测范围为1000英尺。信号状态每两秒更新一次，而车辆加速度、速度和位置每0.5秒更新一次。RHC的预测范围为20秒。更多详情见表2。
表2 案例参数
表3 STTO案例研究中的要求模式
STTO问题在15分钟的学习时间内得到解决。表3总结了本研究中测试的不同场景。对于每种情况，考虑六种不同的CAVs市场渗透率（即0%、20%、40%、60%、80%和100%），以评估合作信号配时和轨迹优化问题。Vissim[45]用于测试所提出的算法。COM接口用于收集网络中车辆的信息，并将最优轨迹应用于CAVs的运动。所提出的算法是用Java编写的，运行在具有Intel core i-9-9900 CPU和64 GB内存的台式计算机上。CPLEX[46]用于解决MILP优化问题。
6 结果
图6 重构后的拉格朗日松弛的对偶性缺口
表4 不同场景下的平均运行时间(s)
图6显示了场景4中的对偶间隙，即本研究中测试的最高需求水平，当两两冲突约束（13）被更紧密的派系取代时，使用所提的拉格朗日松弛技术解决STTO问题的结果。由于该问题是通过滚动时域控制来解决的，因此每两秒钟求解一次拉格朗日松弛问题，以找到最佳信号配时方案。因此，对于动态解决的所有松弛问题，都会报告对偶间隙。图6表明对偶间隙大多为零，这意味着所提出的解决方案技术大多具有强对偶性。此外，在场景4中使用不同的CAV市场渗透率测试的所有情况下证明对偶间隙总是小于0.1%。注意，其他场景的结果也证实了相同的模式。表Ⅳ显示了情景1至5下所提模型的平均计算运行时间。平均运行时间由两个优化程序显示，其中（1）同时优化信号定时参数和轨迹，（2）仅使用固定信号定时参数优化轨迹。在这两种情况下，当CAV市场渗透率增加时，优化运行时间减少，因为与HVs跟驰模型相关的变量数量减少。还表明，增加通信量与更高的运行时间相关。使用增强拉格朗日松弛技术进行信号和轨迹优化的最小和最大平均运行时间为0.8秒和5.9秒。需要注意的是，所提出的方法是一种迭代方法，并且可能无法实时找到最优解，因为信号定时参数每2秒进行一次优化。然而，通过将最优性间隔设置为更高的值或以更高的间隔更新信号定时参数，可以实现实时解决方案。表Ⅳ还显示了固定信号参数下轨迹优化的最小和最大运行时间为0.04s和0.22s。表Ⅴ比较了STTO策略不同CAV市场渗透率的平均行程时间和三种实用信号控制方法：（a）固定时间[47]–[49]，（b）驱动控制和（c）自适应信号控制。固定时间信号控制可被视为基线，其中信号定时参数根据一天中不同时间的需求水平预测进行优化。固定时间信号控制无法响应不可预见的需求变化。驱动控制装置利用车辆检测器，并能对观测到的交通环境变化作出反应。然而，它不能预测近期的情况。自适应信号控制可以预测近期的交通状况，并主动改变信号配时参数。我们使用PTV Vistro[50]找到最佳固定时间和驱动信号定时计划。此外，还提供了基于小区传输模型[51]–[53]的自适应信号控制方法的结果，以供进一步比较。
结果表明，在不同CAV渗透率的所有情况下，与固定时间、驱动和自适应信号控制相比，STTO的平均行程时间显著缩短。结果还表明，平均行程时间随着CAV渗透率的增加而减少，这与预期一致。然而，在交通量较低的情况下，这种减少不太明显。例如，在场景1和场景2中，当CAV穿透率为60%、80%和100%时，平均行程时间几乎相同。另一方面，在需求水平较高的情况下（如场景4），增加CAV渗透率仍然可以通过减少所有车辆的平均行驶时间来改善交叉口的性能。此外，当CAV的市场渗透率发生变化时，我们比较了STTO与固定时间信号配时计划的性能。本分析考虑了场景4，因为其需求量最高。当信号配时固定时，只有CAVs的轨迹被优化，以有效利用绿灯时间并减少交叉口的停车次数。图7显示了STTO在平均行程时间方面总是优于固定时间信号定时计划。此外，当CAV的市场渗透率增加时，与固定时间计划相比，STTO的行程时间减少率更高。
表5 不同信号控制器的平均通行时间
图7 比较STTO与固定时间信号在不同的CAV市场渗透率下的表现
图8 场景4中的平均队列长度
图9 比较0%和100%CAV比例下的信号配时计划
图8显示了场景4中具有最高的测试需求水平的不同CAV渗透率交叉口的不同引道的所有车流的平均排队长度。平均队列长度随着CAV市场渗透率的增加而减少。当道路上没有控制人驾驶车辆移动的CAV时，平均排队长度约为450英尺。当所有车辆均为CAVs时，平均排队长度减少到50英尺以下。
图9显示了在场景4中，在测试需求水平最高的情况下，交叉口不同引道中所有车辆的信号配时参数，CAV渗透率为0%和100%。当CAV渗透率为零时，交叉口所有移动的绿灯期较长。这是由于人力驱动车辆的启动损失时间较长。另一方面，当所有车辆都是CAVs时，绿灯期更短、更频繁。这是因为在交叉口前停车时，CAVs的启动损失时间较短。此外，CAV调整其速度，以最大速度通过交叉口；因此，通过交叉口需要更短的绿灯时间。图10显示了在具有最高测试需求的场景4中，不同市场渗透率下东行通过（EBT）的CAVs和HVs的轨迹。增加CAVs的渗透率与所有车辆通过交叉口的平滑轨迹相关。此外，随着CAVs的市场渗透率的增加，队列的后面越来越靠近交叉口。由于目前的实践状态策略没有一种与CAVs轨迹共同优化信号配时计划，因此我们将STTO的结果与Guo等人最近开发的最新状态策略进行了比较[3]。本研究使用动态规划和射击启发式方法，在混合环境中优化CAVs的信号配时计划和轨迹。结果表明，本文提出的算法可以在较短的计算时间内找到较低的平均行程时间和燃油消耗。燃油消耗量根据VT-Micro模型[54]计算，参数与Maet al[55]相同。以下参数的设置与Guo等人[3]中的研究案例完全相同：交叉路段长度：1312英尺，饱和率：0.6，直行最大速度：98ft/s，左转最大速度：79ft/s，规划视距：122s，跟车参数：最大加速度=4.72 ft/S2，最大减速度=5.48ft/S2，优化信号定时计划的步长：8秒。
表Ⅵ显示，通过增加CAVs的市场渗透率，平均行程时间和燃油消耗量有所减少。此外，对于不同的CAVs市场渗透率，我们提出的算法的性能优于[3]中的最佳结果。应注意的是，Guo等人[3]假设信号配时计划有四个阶段。然而，我们的研究包括八个阶段，这代表了一个更一般的情况。此外，[3]中的相位即使某些相位可以跳过也在循环中按固定顺序考虑。另一方面，在我们的研究中，考虑了无序的相位。因此，这些参数的差异可能会影响比较的结果。所有这些差异为我们的问题创造了一个更大的可行区域，这导致了表Ⅵ所示的解决方案性能差异显著。表Ⅶ显示了STTO在研究期间5、10、15和30分钟内获得的平均行程时间、平均油耗和总运行时间。针对需求最高的场景4和两个CAV市场渗透率分别为40%和100%的场景4提供了性能度量。表Ⅶ中的趋势表明，由于网络中存在更多车辆，研究周期的延长与更高的平均行程时间和平均燃油消耗量相关。此外，由于变量数量和内存使用量的增加，运行时间会随着研究周期的增加而增加。
图10 Lane1中CAVs和HVs的轨迹
表6 与GUO ET AL.[4]的方法对比
7 结论
本研究开发了一种在CAVs和HVs混合交通环境下协调信号交叉口信号配时和轨道优化的方法。我们将STTO公式化为一个混合整数非线性程序，假设所有车辆都已连接，或者交叉口配备了能够提供车辆位置的探测器（如雷达装置）。使用Helly的跟车模型预测HVs的轨迹。由于非线性和二进制变量的存在，所提出的优化程序非常复杂。因此，我们将非线性约束线性化，并使用拉格朗日松弛技术将可交互优化问题分解为车道级子问题，从而降低了问题的复杂性。因此，交叉口各车道的信号配时参数和车辆轨迹可由单个控制器控制。我们还重新构造了可行域紧凸壳的STTO问题，以减少对偶间隙。此外，在拉格朗日松弛问题收敛后，当松弛约束不满足时，引入互补优化问题来寻找高质量的可行信号定时参数。所提出的解决方案技术嵌入了一种后退地平线控制技术，以捕捉问题的动态性质。
结果表明，所开发的方法可以在最大0.1%的最优性差距内找到解决方案。研究还表明，不同CAV市场渗透率测试下STTO的性能优于自适应控制器信号配时性能，平均行程时间减少5%至51%的。此外，增加CAVs的穿透率可减少交叉口所有车辆的平均行程时间。这种减少在较高的交通量中更为显著。建议的方法适用于只进行左转运动的交叉口布局。这将是值得在未来推广的方法，并找到在所有交叉口类型中的最佳信号配时参数和车辆轨迹。此外，本研究假设车辆不会在检测到的交叉口范围内改变车道，也不会使用CAV车道改变来进一步控制交通流。开发预测HVs换道行为和优化CAV换道决策的算法可以进一步改善交通运行。这项研究使用了一个线性跟驰模型，使用更复杂的跟驰模型是值得探索的。研究交通网络中信号配时和轨迹控制的影响，交叉口相互沟通并协调决策，为进一步改善交通运行和安全提供了巨大潜力需要进一步研究。
参考文献
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