几种轮胎非线性侧偏刚度模型分析（附拟合程序）

轮胎力学特性影响车辆的动力学性能，如操纵稳定性、平顺性、安全性等，随着仿真技术进步，车辆运动模拟可通过仿真手段实现，更有助于车辆零部件和底盘前期设计，但这些需要提供能准确反映轮胎和路面的力和力矩的参数。实际车辆运动时轮胎会产生加减速、转向、外倾等复杂工况，而轮胎承载的载荷、气压等也会受车辆运动、承载、环境等有所变化，显然通过实际测试获取所有的轮胎运行工况和测试条件的力和力矩信息是不现实的，这就需要对轮胎力学特性建模，通过模型参数表述复杂轮胎运行工况和多种测试条件的力学信息。本文针对轮胎侧向力和侧偏刚度进行几种简单常用的模型对比分析，这将为车辆动力学建模提供轮胎模型基础，以用于车辆实时控制。

侧偏刚度相关数据获取

本文利用carsim仿真软件中所提供的轮胎数据进行研究，打开carsim软件并找到轮胎模型部分，求出每个车轮的垂向载荷（以参考垂向载荷为例），再找到轮胎侧偏力与侧偏角曲线，如下图所示。

图1 CarSim轮胎侧偏刚度初始数据

表中第一行代表不同的垂向载荷，第一列代表侧偏角。这里我们选取垂向载荷为1348.41的曲线相关数据导入Matlab中，接下来将采用数值拟合的方法对轮胎模型进行分析。

侧偏刚度的数值模拟

对于轮胎力学模型来说，主要分为三类，分别是经验模型，理论模型以及半经验模型。经验模型从轮胎实测数据得出，与测试数据拟合相关度较高，但模型很难适用于其它测试工况或测试条件；理论模型采用轮胎结构简化，采用物理模型参数描述轮胎变形、运动，具有相应解析表达式，但公式复杂，计算繁琐，且精度较差；半经验模型兼容了经验模型和理论模型的优点，在理论研究和测试数据基础上开展建模。

其中运用广泛的模型主要有Magic Formula模型，UniTire模型，Dugoff模型以及刷子模型。因此本文分别按这四种模型进行了该型轮胎侧偏刚度的数值拟合。

2.1基于Magic Formula模型的侧偏刚度拟合

应用最广泛的经验模型当属Pacejka教授提出的魔术公式（Magic Formula）。魔术公式最先在荷兰的TU Delft大学和沃尔沃的合作项目中发展起来，于1987年发布第一个版本。之所以称之为魔术公式是因为该公式可以利用一个表达式换用不同的参数来描述轮胎侧向力、回正力矩与侧偏角以及纵向力与纵向滑移率之间的关系。由于直接由试验数据拟合而来，因而模型计算的准确性较高。它关于侧偏力拟合的基本公式为：

以及

轮胎魔术公式的参数含义如下图所示。

图2 魔术公式参数含义原理解释

其中，

为轮胎侧偏力（N）；Fz为实际试验载荷（N）；Fz0为额定载荷（N）；Fzn为无量纲垂直载荷；α为侧偏角(°)；D为峰值因子；C为形状因子，侧偏力拟合取-1.3；BCD即式中的K代表原点处的斜率；B为刚度因子；E为曲率因子；对于给定的D，C，B和E曲线相对于原点表现为非对称形状。考虑到轮胎的初始侧偏刚度，引入水平偏移Sh和垂直偏移Sv使侧偏刚度拟合曲线与试验数据相适应；a1~a10为拟合回归参数。式中各参数都有其特定的物理意义，并且随a1 ~a10的变化而变化。

半经验模型具有高精度、计算量小、可实时仿真的优点。缺点是需要做大量和工况相关的试验，外推性较差，而且只能给出轮胎的稳态特性。半经验模型对试验条件和试验步骤都有严格的要求，且很难涉及轮胎的动特性。

本文采用lsqcurvefit进行编程拟合曲线，拟合结果为：a1=-599.953，a2=2057.211，a3=100000，a4=-6.015，a5=-2.098，a6=6.763，a7=2.422，a8=0.0045，a9=-0.563，a10=-31.884。获得的曲线拟合结果如下图所示。

图3 基于魔术公式的轮胎侧向力拟合结果

2.2基于UniTire模型的侧偏刚度拟合

UniTire 模型的发展基于简化理论模型的无量纲化表达，是一种半经验模型，结合了经验模型与理论模型的优点，经过数十年的发展完善同样可以很好的描述稳态条件的轮胎力学特性，目前已经发展到的2.0版本。它关于侧偏力拟合的基本公式为：

以及

其中，Fα为无量纲切力；SHy为侧向力水平偏移；Ky为侧偏刚度；Sye为有效侧向滑移率；Ey为侧向力曲率因子；φy为无量纲侧向滑移率；μy为侧向摩擦系数；pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2为需拟合的参数。

数值拟合使用Matlab的lsqcurvefit工具。由于lsqcurvefit工具只能对向量进行拟合。因此就同一载荷不同侧偏角对pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2进行拟合，其拟合值如下：pHy1=-0.0568；pHy2=0.2388；pKy1=-0.0768；pKy2=0.5136；pKy3=0.0182；pEy1=286.5100；pEy2=-98.6322；pμy1=-1.1612；pμy2=1.3760。获得的曲线拟合结果如下图所示。

图4 基于UniTire的轮胎侧向力拟合结果

2.3基于Dugoff模型的侧偏刚度拟合

Dugoff模型也属于半经验模型。模型假设轮胎接地区内垂直力均匀分布，同时由于轮胎纵向刚度与侧向刚度差异很大，故模型在横向和纵向允许有独立的轮胎刚度值。与其他轮胎模型相比，Dugoff模型的优点在于它是根据力的平衡推导出的解析模型，纵向力和横向力与轮胎与路面的摩擦系数具有直接关系。其表达式为：

其中，Cα为轮胎侧向侧偏刚度；Cλ为轮胎纵向侧偏刚度；λ为纵向滑移率；α为轮胎侧偏角；μ为路面附着系数；Fz为垂向载荷。

数值拟合同样使用Matlab的lsqcurvefit工具，对Cα、Cλ进行拟合，其拟合值如下：Cα=136777，Cλ=6018。获得的曲线拟合结果如下图所示。

图5 基于Dugoff的轮胎侧向力拟合结果

2.4基于刷子模型的侧偏刚度拟合

早期人们希望从轮胎抽象出简单的物理模型来研究轮胎的力学特性，这就是早期的理论模型。早期的理论模型主要包括刷子模型、梁模型和弦模型等。它们在一定程度上揭示了轮胎力学特性的形成机理。刷子模型早于1941年被Fromm提出来，将轮胎简化为弹性的胎面单元附着在刚性的胎体上，且胎体集中所有的轮胎质量，胎面单元为没有质量的“刷子”。在纯侧偏的工况下，刷子模型的侧向力表达式如下：

其中，Cα、μ分别为轮胎转向刚度及摩擦系数，两者都需要通过拟合获得；Fz为法向载荷；α为轮胎侧偏角；αsat为饱和侧偏角，其表达式如下所示。

其中，η为衰减系数，其值随着纵向力的增加而减小，含义为：地面除开提供给轮胎纵向的力外还能为横向所提供的力，其能够描述随着纵向力Fx的增大而引起横向力的减小的现象。衰减系数的定义式如下：

数值拟合同样使用Matlab的lsqcurvefit工具，对Cα、μ、η进行拟合，其拟合值如下：Cα=28682.4，μ=0.987，η=1。获得的曲线拟合结果如下图所示。

图6 基于刷子模型的轮胎侧向力拟合结果

结论

上述各轮胎模型拟合的结果如下所示。在拟合精度方面，在侧偏角较小时各模型都可以反映侧向力的上升趋势，刷子模型、UniTire模型误差都较小，魔术公式模型最接近实验的结果，Dugoff模型精度较其他三个模型而言略差一些。在侧偏角较大时，只有魔术公式模型误差最小，几乎接近原始曲线，其余三种曲线都无法贴合原始曲线，也无法反应出饱和段侧偏刚度下降的趋势。

图7  轮胎侧向力拟合结果

图8  轮胎侧偏刚度拟合结果

在复杂性方面，根据公式复杂度进行比较，魔术公式模型和和UniTire模型最复杂，刷子模型、Dugoff模型较复杂；根据参数多少进行比较，魔术公式模型和UniTire模型参数最多，刷子模型参数较多，Dugoff模型参数较少；从参数辨识难度方面进行比较，魔术公式模型、UniTire模型难度较大，刷子模型和Dugoff模型难度较小。

就该205/55R16型轮胎的侧偏刚度拟合来说，Magic Formula轮胎模型的拟合精度显然比UniTire轮胎模型高。其主要原因：UniTire轮胎模型是半经验模型，受轮胎结构的影响‚其中某些拟合参数在计算中可能会超出取值定义域。如果不进行相关修正则无法进行下一步正常拟合计算，如果进行修正则会导致拟合精度降低。而UniTire模型与刷子模型类似，其采用的摩擦系数也随滑移率变化，因此，两者的拟合结果近似，UniTire精度略高一些。

图8对四种模型做出的侧偏刚度曲线进行了对比，结果表明：在侧偏角较小时，魔术公式的侧偏刚度与原数据基本一致，而UniTire和刷子模型略偏小，Dugoff模型偏小程度较大。