共振点探查试验中如何判断共振点

在振动试验中，一般采用正弦对数扫频方式来寻找试验体的共振点，然后再进行耐久性等试验，从而判断试验体的工艺性能等特性。这种方法现在比较广泛，但是针对扫频曲线如何判断共振点呢？下面就个人经验认识与理解，进行说明。

首先，理解一下共振的定义。共振是指带有能量的系统在外力激励下发生固有振动的一种现象，特别是当外力的激励频率接近固有频率的时候。和共鸣是同样原理的现象，在电气和振动行业中经常使用的一个专业用语。

其次，在判断共振点时，经验上一般采用的方法是，当监测点的响应值（加速度、速度、位移）是控制点控制值（加速度、速度、位移）的6dB(2倍)以上时，监测点响应值对应的频率f即为共振点。如下图，

上述方法对结构简单的试验体（线性系统）比较有效，而对于组装件比较多的试验体（非线性系统），还需要加入相位差来进行判断，即控制点和监测点对应的相位差是否为90°，如下图，

也许有人会问，这个方法真的可靠吗？有没有理论依据？其实是有的，其理论依据就是单自由度系统受简谐激励引起的强迫振动。数学模型如下图，

振动微分方程式（F0激振力幅值，ω激振频率），

两边同除以m，并令ωn= ，2ξωn= c/m，阻尼比ξ= c/cc，cc =，得到

这是一个具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。此方程的解x（t）包括两部分，单自由度有阻尼自由振动齐次方程的通解x1（t）和特解x2（t），

其解图形

X1（t）是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，是瞬态振动，在一般情况下可以不予考虑。将x2（t）代入原微分方程，解法一般的振动理论书上都有介绍，最后得到

频率比λ = ω/ωn ,系统的最大静位移X0= = F0/k 。

通过上面强迫振动解可以看出，在简谐激振力作用下，强迫振动也为简谐振动，其频率与激振频率ω相同，但滞后θ，这是由于阻尼存在的关系。振幅X与相位角θ都与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。取

β称为放大因子，代表稳态振动振幅X与激振力幅F0静止作用于弹簧上的静位移X0之比，不仅随频率比λ而变，还随阻尼比ξ而变。将β与λ、ξ的关系曲线以及θ与λ、ξ的关系曲线分别称之为幅频响应曲线、相频响应曲线。

两图中，注意频率比λ=1那条竖线，可以看出，

1    λ＜＜1，ω＜＜ωn，弹性控制区，振幅主要由弹簧k控制，振幅X接近等于最大静位移X0，β接近于1。相位差θ接近等于0度，即位移与激振力接近同相位。

2    λ＞＞1，ω＞＞ωn，惯性控制区，振幅只要由质量m控制，β接近于0，因为频率变化太快，试验体由于惯性来不及跟随，几乎静止不动，振幅X主要由系统的惯性决定。相位差θ接近等于180度（π），即位移与激振力接近反相位。

3 λ≈1，ω≈ωn，阻尼控制区，振幅X急剧增加，放大因子β趋向于最大值βmax。严格的说，βmax发生在

处（取β式子分母中根号下式子的最小值，即λ2的一元二次函数微分后等于0，求出λ），通常由于ξ2＜＜1，所以可以说ω=ωn时系统发生共振。此时振幅达到最大值Xmax=X0/2ξ，且相位差θ=90°（π/2）。可见在共振时，Xmax与阻尼比ξ值有关，ξ越小，Xmax值越大；在ξ趋近于0时，Xmax可达到无穷大。但此时的相位差θ与ξ值无关，不管ξ值为何值，共振时θ总是90°（π/2），这是共振时的一个重要特征。

通过上面的幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。

在幅频响应曲线中可以看出，在共振区附近的一定范围内，阻尼比ξ对振幅有明显的影响，增加阻尼可使振幅明显下降，这个是减振的理论基础。

λ=1时的放大因子最大，即βmax，此时称其为品质因子，用符号Q表示，

在幅频响应曲线上共振点的两侧用水平线截取两个点q1、q2，使它们的纵坐标β满足

点q1和q2称为半功率点，对应的频率分别为ω1和ω2，两频率之差Δω=ω2-ω1,称为系统的半功率带宽，

求得，

因为ξ＜＜1，可以忽略ξ2，得到，

近似的认为幅频响应曲线在λ=1两侧时对称的，则由ω1+ω2≈2ωn，最后得到，

从上式中可以看出，阻尼比大的时候，带宽Δω也大，在共振区内振幅较小且变换平缓；阻尼小时，带宽窄，共振区内振幅较大且变化陡峭。所以Q反映了阻尼的强弱和共振峰陡峭程度，故又称为共振的锐度。在振动试验中，用试验的方法得到半功率带宽，再估算出阻尼的大小，即半功率法。

现在再回到前文所述共振点的判断方法中使用幅值判断时，为什么要取6dB(2倍)以上这个问题。通过幅频响应曲线，可以看出ξ＞0.25的话，共振峰比较平缓，不是很明显：ξ≤0.25的话，共振峰比较明显且陡峭，便于察觉。将此条件代入Q=βmax=1/2ξ中，得到Q≥2，这就是幅值判断共振点时，取放大倍数2以上的原因，当然这也仅仅是本人的理解，仅供参考。

总结：

以上介绍的是单自由度系统测定固有频率的方法及其理论基础，主要是通过振幅（位移）来进行判断，其实利用速度或加速度来进行判断结果是一样的。振幅（位移）解微分后即得速度解和加速度解，从而得到速度和加速度的放大因子，总结如下。

位移放大因子：

位移响应相位差：θ

速度放大因子：

速度响应位移差：

加速度放大因子：

加速度响应位移差：

其各自对应的幅频响应曲线如下图所示。

所以说，利用振幅来寻找共振点和利用速度或加速度来进行判断结果是一样的，所以统一定义共振点为，

而对于共振区的定义方法为，

1    0.75＜λ＜1.25

2    λ-Δλ＜λ＜λ+Δλ  （Δλ=2ξ，带宽）

另外，如果把多自由度系统看成是多个单自由度系统的叠加，即在每个共振点处，都可以认为是一个单自由度系统。所以此法也适合多自由度系统的共振点探查。

最后，给出一个共振点探查结束后进行耐久振动试验的实例来结束本文。如下图所示，某车载用品，按照下面的内容进行共振点探查，然后按照一阶共振点的条件进行耐久对应试验。

频率范围：5～500Hz，加速度：1.0m/s2，扫频速度：1oct/min

试验体设置图

试验响应曲线

通过试验曲线发现一阶共振点在125Hz附近，对应耐久试验要求，在一阶共振点的±10%内（112.5Hz～137.5Hz）做共振耐久扫频试验，加速度3.1m/s2，单程对数扫频时间12s，共计10小时。