流体分析中的相似理论和无量纲数

流动相似概念

流体运动是自然界普遍存在的现象，与人类的生产生活密切相关，在这些过程中，我们不断的积累经验，增加认识。16世纪，达芬奇推导出了一维不可压粘性流动质量守恒方程，并对波动、漩涡等的形成进行了研究，在这一阶段，人们开启了将流体运动的研究从经验到科学的转变，催生了现代流体力学。

流体力学在国民经济、军事等诸多领域得到了广泛的应用，并已经开展了很多深入的研究，在相关分析中，流体相似理论是一个重要的组成。

流动相似理论主要是从实验中发展而来的，在流体分析中，有一些实验不允许在真实的环境下进行，或者需要消耗大量的人力、物力和财力，或者部分实验在真实环境下，反而难以测得所需要的信息，那么，这些时候，就需要通过一定的模型试验，采用合理的相似理论，抓住问题的本质，来进行分析研究。流动相似理论也成为流体分析中的一个重要概念。



例如，在人类早期的飞行尝试中，往往都是直接模仿鸟类或者昆虫的外形和运动方式，但是大都失败了，这是因为我们过于关注动力学和外形模仿，而没有考虑流动相似理论中尺度的重要影响。在科幻电影中，一些昆虫，例如蜜蜂苍蝇等，变异后变得巨大，在空气中飞翔，这种场景在现实中是几乎不可能出现的，因为尽管外形相似，但是比例放大后，因为雷诺数的不同，昆虫翅膀周围的流场状态发生了巨大改变，由层流变成了湍流，导致使其飞行的动力发生了根本变化。

所以，如今的飞行器设计，均要按照流动相似概念进行大量的模型试验，从本质上说，流动相似，就是要保证控制方程中的各种影响因素相似，例如连续方程、动量方程以及能量方程，通常情况下，我们会在这些方程中总结出无量纲数，作为流体相似分析中的主导参数。例如，雷诺数，马赫数等等。

常用无量纲数简介

无量纲数大多为某两种力之比，这是因为流动运动状态的改变决定于其所受到的力，而哪种作用力占主导因素，流动就主要由该作用力决定。下面列举的是一部分常用的无量纲数：



1雷诺数



式中，ρ为流体密度；V为流速；L为流场中的特征长度，例如圆管的特征尺度即为直径D，但大部分情况下，特征尺度并不是显而易见的；μ为动力粘性系数。



雷诺数可以说是最著名的无量纲数了，决定了大部分的定长、不可压等流体流动形式。来源于英国科学家雷诺的著名实验，在该实验中，水尽量不受扰动地进入圆管，并通过染色剂来观察水流的状态，基于此，科学家们发现了一些列临界雷诺数，其一系列实验揭示了雷诺数决定着流动状态是层流还是湍流。

当然，现在来看，这种说法不是十分的准确，严格来讲，雷诺数的意义是流体的惯性力与粘性力之比，只决定着流体的不稳定度，至于会不会形成湍流，还取决于是否有足够的扰动触发，当雷诺数足够高时，由于微小扰动的不可避免性，流动一定会是湍流，而雷诺数很低时，即使大扰动使流动变成湍流，流体也会自行恢复成层流。因此，通常情况下，可以将雷诺数大致分为以下几个区间：

远小于1，成为蠕动流，此时惯性力基本可以忽略，物体的运动方式简单来说就是：有力就动，没力就停，有点接近于亚里士多德对物体运动方式的描述。例如细菌在液体中移动，毛细血管中的血液流动等等。

雷诺数为1~2100之间，此时，粘性力和惯性力作用不可忽略，流体呈现规则的运动方式，即层流。常见现象例如动脉血管中的血液流动。

雷诺数在2100~105之间，此时，粘性力逐渐减小且变得不稳定，一些小的压力波动就可能会引起流场长时间的振荡，因此，流体可能出现层流，也可能是湍流，或是两者交替。常见现象例如昆虫与鸟类的飞行，鱼类游动等等。

雷诺数大于105，此时惯性力起主导作用，粘性力的影响已经非常小，可以在计算中忽略，流体基本呈现湍流状态。例如飞行器在空气中的高速移动，化工行业中反应釜内的搅拌现象等等。

2马赫数



式中，V为流体流速，a为当地声速。

马赫数也是十分有名的无量纲数了，尤其在空气动力学中应用更加广泛，其意义是物体运动速度与当地的声速之比，在力的层次上，其表示了流体中惯性力与弹性力之比，马赫数越大，意味着弹性力的影响就越小，空气会被拉伸或压缩，可以类比固体中的弹簧，当弹性模量很小时，弹簧就可以被强烈的进行拉伸与压缩。

生活中多数常见的流动速度都远低于声速，所以马赫数的影响很小，但是在计算飞行器以及赛车等高速流动时，则通常需要保证马赫数的一致。例如高速风洞实验中的流体，一个典型的问题就是激波现象的出现，此时弹性力与粘性力共同影响流体的流动状态，所以在相关实验时，要保证雷诺数和马赫数均一致。此外，当马赫数很高的时候，雷诺数的影响也几乎可以忽略，也就是说，当压缩性的影响变得明显，粘性的影响就减轻了很多。

3斯特劳哈尔数



式中，f为周期性流动的频率，L为特征长度，V为流体流速。



当流体绕物体流动时，经常会在其后面形成周期性的涡脱落，称为卡门涡街，对于比较标准的圆柱扰流来说，这种涡脱落现象存在很强的周期性，产生的声音就像在“唱歌”，斯特劳哈尔正是在研究这种现象时定义了这个无量纲数。当流体做周期性非定常运动时，可以用该量来描述振荡的程度，它表示了当地惯性力与对流惯性力的比值，数值越大，则振荡强度越大。

4弗劳德数



式中，V为流体流速，g为重力加速度，L为特征长度。

英国科学家弗劳德在研究船舶航行时所遇到的水面波阻力时定义了弗劳德数，它表示了流动中惯性力与重力的比值，一般情况下，在处理重力场内液体的自由表面相关的运动时，会考虑该数值。不过，在大多数流体问题中，重力都是可以忽略的。

5欧拉数



式中，p为流体压力，ρ为流体密度，V为流体流速。

欧拉数表示了流体的压力与惯性力之比，同时，也是压力系数的另一种表现形式，在不可压缩流动中，欧拉数表示了某两点压差与来流动压头的比例关系。根据伯努利方程，欧拉数也表示了流体的加减速程度。

6韦伯数



式中，ρ为流体密度，V为流体流速，L为特征长度，σ为液体的表面张力系数。

韦伯数表示了惯性力与表面张力的比值。在液体的表面会存在表面张力，当流体的运动速度较小，或者液滴的尺度很小时，表面张力就有可能与当地的惯性力相当或者更大，此时就需要考虑表面张力的作用。

韦伯数越小表示表面张力越重要，当韦伯数远大于1时，表面张力的作用就可以忽略。此外，在某些情况，例如液滴在高速气流中的破碎问题，发动机在燃烧室中组织高效燃烧问题等，则和韦伯数密切相关。

运用相似理论的流动分析
从理论上来讲，想要通过相似理论来分析流动现象，除了在几何尺寸上保持相似之外，还需要满足一系列无量纲数的相等。这在实际操作中，几乎是不可能的，所以，我们往往会根据实际情况，抓住主要变量，进而忽略其他次要影响。

举例来说，对于常见的低速不可压缩流动，往往不需要考虑马赫数的影响，只需要关注雷诺数是否相等，在此基础上设计模型试验，例如：常见的风洞实验，当某巨型设备的周边真实流场过大，不能放入风洞中计算分析，则需要进行比例缩放处理，并根据相似理论保证流体的雷诺数相当，即可以得到与真实情况相似的计算结果。

对于一些高速空气动力学实验，压缩性的影响是第一位的，流场中往往会形成激波，想通过相似手段在亚音速条件下形成这种情况是不可能的，这时候，可以采取一些声速低的流体来近似替代。例如，在早期超音速压气机实验时，由于解决不了高速旋转下叶片的强度和振动问题，遂采取氟利昂作为工作介质，由于声音在氟利昂中的传播速度远小于空气中，所以可以实现用低转速模拟高转速的目的。

如上所示，流体的相似问题理论虽然简单，但是实现起来却经常会有各种各样的问题，很多时候选取的无量纲数无法保证完全相等，这就需要我们在实际操作中，利用更多科学的近似方法来指导流体实验的设计，如人工转捩创造湍流，同时可以采取计算机辅助设计的手段，进行流场的仿真计算，对实验进行指导与参考。

参考文献：
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