模态空间—时域，频域与模态空间之间的联系

你能解释时域、频域和模态空间之间的差别吗？我总听人提起，但不能明确他们有什么差别。

要解释的有很多，但我们从简单的开始吧。


作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）

这是一个常见的问题。但这个问题会涉及到很多不同的方面，因此我们先从一个简单的示意图入手，并且尽量避免涉及到过多的数学知识。我们通过这幅图来讨论时域、频域、模态空间和物理空间所有这些不同的方面。示意图中要讨论的内容有很多，所以我们先将他们分开逐一讨论，最后再将其整合到一起。你应该还记得我们先前的讨论，你问我模态分析是怎么一回事（“模态分析的简要解释”），这对下面的讨论很有帮助。



首先，我们考虑一个简单的悬臂梁，并假定对梁的端部施加一个单位脉冲激励。梁端部的响应是系统所有阶模态响应的叠加显示（如黑色时域曲线所示）；可以注意到结构在几个不同频率上都有响应。通过对时域信号进行傅立叶变换，可以将梁端部的时域响应变换到频域。这个过程伴随有相当多的数学知识，但它对于我们来说是一个常见的变换。通常我们将这个由时域信号变换过来的频域曲线称为频响函数，简称为FRF（如黑色频域曲线所示）；注意这条曲线上的多个峰，其对应于系统的多阶固有频率。

在进一步讨论时域和频域之前，让我们先讨论一下图中左上部的物理模型。我们知道悬臂梁具有多个振动固有频率。在每个固有频率上，结构具有特定的变形形式，我们称之为模态振型。对于该悬臂梁，我们看到，第一阶弯曲模态如蓝色所示，第二阶弯曲模态如红色所示，第三阶弯曲模态如绿色所示。当然，还有其他更高阶模态没有显示出来，并且此处我们只讨论前三阶模态，但这也很容易适用到更高阶模态。

我们也可以利用图中右上部的解析集中质量模型或者有限元模型（黑色所示）来计算这个实物梁。此模型通常用方程组来表示，方程组中的各点或自由度（DOF）之间相互影响或者耦合。这意味着，如果你上拉模型的某一个自由度，其他自由度也会受到影响并产生位移。这种耦合意味着，如果想确定系统响应，方程组会非常复杂。当描述系统的方程数目越来越多时，方程组会更加复杂。我们通常用矩阵将所有的运动方程组合在一起，以描述系统响应，如下所示：



其中[M]、[C]、[K]分别为质量、阻尼和刚度矩阵，对应的还有加速度、速度和位移以及施加于系统上的激振力。通常质量矩阵为对角阵；阻尼矩阵和刚度矩阵为对称阵，具有非对角元素，以描述系统的不同方程或自由度之间的耦合程度。矩阵的大小依赖于我们用以描述系统的方程数。从数学上讲，我们求得所谓的特征值，并利用模态变换方程，将这些耦合的方程组转换为一组解耦的单自由度系统，在新坐标系统中，它由模态质量、模态阻尼和模态刚度等对角矩阵来描述，这个新坐标系统称为模态空间，表示如下：



因此我们可以看出，利用模态变换方程，从物理空间到模态空间的变换是一个将复杂的耦合物理方程组转换为一组简单的解耦的单自由度系统的过程。并且，在图中我们看到，这个解析模型可以分解为一组单自由度系统，其中描述第一阶模态的单自由度如蓝色所示，第二阶模态如红色所示，第三阶模态如绿色所示。模态空间允许我们方便地利用简单的单自由度系统来描述系统。

现在我们回过头来讨论时域和频域响应，如黑色曲线所示。我们知道，系统的响应可以由各阶模态对其的贡献得到。黑色所示的总响应是由各模型响应结果求和得到的，各模型如蓝色第一阶，红色第二阶，和绿色第三阶模态所示。不论我是在时域还是在频域来描述系统，这都是正确的。各域是等同的，只是数据呈现的视角不同而已。这与货币非常相似——当我从一个国家到另一个国家时，每个国家的货币看起来都不一样，但其实都是一回事。所以，我们可以看出，时域总响应是由各阶模态时域响应即蓝色第一阶、红色第二阶和绿色第三阶模态的时域响应的贡献而来。我们也可以看出，总频响是由各阶模态频响即蓝色第一阶、红色第二阶和绿色第三阶模态的频响贡献而来。（此处只显示了频响函数的幅值部分；这个函数实际上是复数形式，需要用频响的幅值和相位或者实部和虚部两部分来正确表示）。

我们可以将解析模型分解为一组单自由度系统，从而能够确定每个单自由度系统的频响函数，如蓝色第一阶、红色第二阶、和绿色第三阶模态所示。也能够确定每个单自由度系统的时域响应，对于脉冲输入引起的单自由度系统的响应，可通过闭式解求得或者对每个单自由度系统的频响函数进行简单的傅立叶逆变换得到。也能够测量单位脉冲输入引起的梁端部响应，并且对系统每阶模态的响应进行滤波，这样我们可以观察系统每阶模态的响应，如蓝色第一阶、红色第二阶、和绿色第三阶模态示。（当然，这里我对很多理论进行了简化处理，使得我们能够理解这些概念。）

至此我们已经将示意图中的各个部分进行了单独分析，我认为我们应该已经很清楚地认识到时域、频域、模态空间和物理空间之间真的没有区别。每个域仅仅是为了呈现或观测数据的一种方便的手段。但是有时，在一个域中比另一个域更容易看清事物。例如，时域总响应不能清楚地表明有多少阶模态对梁的响应有贡献。然而频域中的总频响函数却能很清楚地表明有多少阶模态被激发，以及各阶模态的频率。所以我们经常从一个域变换到另外一个域，只不过是因为数据更易于解释。

虽然介绍的内容并不多，但我希望这个简图及解释能帮助你有更深入的理解。好好思考一下。如果您有关于模态分析的任何其它问题，欢迎垂询。