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模态空间—仅需FRF矩阵的一行（列）就能得到模态振型吗？
2018-04-02 23:26:40· 来源：德国M十P国际公司北京代表处
你确信可以用频响函数矩阵中的一行或一列得到模态振型吗？当然！我们通过一个例子来看一下。
你确信可以用频响函数矩阵中的一行或一列得到模态振型吗？
当然！我们通过一个例子来看一下。
作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）
我们使用之前讨论过的梁模型为例。对于这根梁，我们考虑三个测点，那么总计会有9条FRF曲线可被测量得到。记得我们之前讨论过，这些曲线可以由锤击法或激振器方法测得。那么我们这回可以用一些具体的数值来进行讨论。梁模态振型值为图1所示（所有数值都将尽量简单以便于讨论）。
之前我们描述过FRF虚部峰值与留数（与振型直接相关）的联系。实际上而言，我们说留数可以下式近似得到：
并且，模态振型的各值可由下式得到：
现在我们将三个测点的所有FRF以矩阵形式绘出。由于FRF的虚部包含了振型的幅值与方向信息，对于本次讨论更为有用。因此我们仅显示虚部。如图2所示，各图示值范围为-10至10。
我们使用第三行曲线确定第一阶模态振型，这意味着第三点为参考点。如果我将各FRF虚部的第一个峰值连线，可以看出其连线与悬臂梁第一阶模态振型非常相近，如图3所示。
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如果你观察一下第一阶模态的各个幅值，1、2、3测点分别为-2、-5、-8，这些值与图1中所示的模态振型值相同（这里要注意的是我随意地缩放了振型值，是为了更便于解释。振型值可以按比例放大或缩小，但是其振型是相同的）。
现在，利用FRF矩阵的第二行。如果拾取第一阶模态的FRF峰值，那么这些幅值又一次与悬臂梁第一阶模态的振型成比例，如图4所示。
如果你观察第一阶模态的测点1、2、和3的幅值，会发现它们分别近似等于-1.2、-3.13、和-5。乍看之下，这些数值看上去不一样，但是我们可以注意到，“比值”或“形状”与以前的情况完全相同。
实际上，如果我对由第三行得到的模态振型值进行缩放，缩放比例等于参考点2处的模态振型值（5.0）比上参考点3处的模态振型值（8.0），那么我可以得到上面列出的根据FRF第2行得到的模态振型[ 2 (5/8) =1.2, 5 (5/8)=3.13, 8 (5/8)=5 ]。基于模态振型与留数相关的理论，这正是我所期望得到的结果，所以我实际上并不惊讶（我们也可以观察FRF矩阵的第1行，可以得到相同的结果）。
于是可以看到，我们能够从FRF矩阵的任意一行得到悬臂梁的模态振型。如果我们记得互易性成立的话，那么，我们知道，不同的行或列包含了相同的信息。因此现在我还可以看到，模态振型存在于FRF矩阵的每一列中。这就是为什么我们说，你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计模态振型。当然，我可以全部用公式来说明这点，但是以图形的方式来表达会更有效（并且我知道，当我开始写公式时，你会多么地烦躁！）。
现在观察第二阶模态，并且利用FRF矩阵的第三行。如果拾取第二阶模态的FRF峰值，这些峰的幅值与悬臂梁第2阶模态的振型成比例，如图5所示。
如果观察测点1、2、和3的幅值，会看到它们分别是3、0、-8。它们是图1所示的模态振型的数值。
但是对于第二阶模态，当观察FRF矩阵的第二行时，却没有第二阶模态的相关信息。这又是为什么？这是由于第二阶模态在测点2位置的模态振型的数值为零——它是该阶模态的节点。无论什么时候，当我们使用的输入位置或响应位置位于节点（零振型值）时，那么我们将无法从那个参考点位置观察到模态。
最后一张图或许有助于你将所有的信息汇总在一起。图7显示了在梁上采集到的15个频响测量结果虚部的瀑布图；图2中响应的3个测量结果用红色显示出来。在这个图中，与第一阶模态相关的信息用蓝色显示，第二阶模态用红色，而第三阶模态用绿色。我们看到，可以从FRF的虚部峰值得到模态振型。从这些图中，我们可以看到这个悬臂梁的第一阶、第二阶、和第三阶弯曲振型。
最后我们可以得出结论，你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计系统的任意一阶模态，只要参考点没有位于某一阶模态的节点上。我希望以上讨论解答了你的问题。如果您有其它关于模态分析的任何问题，欢迎垂询。
当然！我们通过一个例子来看一下。
作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）
我们使用之前讨论过的梁模型为例。对于这根梁，我们考虑三个测点，那么总计会有9条FRF曲线可被测量得到。记得我们之前讨论过，这些曲线可以由锤击法或激振器方法测得。那么我们这回可以用一些具体的数值来进行讨论。梁模态振型值为图1所示（所有数值都将尽量简单以便于讨论）。
之前我们描述过FRF虚部峰值与留数（与振型直接相关）的联系。实际上而言，我们说留数可以下式近似得到：
并且，模态振型的各值可由下式得到：
现在我们将三个测点的所有FRF以矩阵形式绘出。由于FRF的虚部包含了振型的幅值与方向信息，对于本次讨论更为有用。因此我们仅显示虚部。如图2所示，各图示值范围为-10至10。
我们使用第三行曲线确定第一阶模态振型，这意味着第三点为参考点。如果我将各FRF虚部的第一个峰值连线，可以看出其连线与悬臂梁第一阶模态振型非常相近，如图3所示。
如果你观察一下第一阶模态的各个幅值，1、2、3测点分别为-2、-5、-8，这些值与图1中所示的模态振型值相同（这里要注意的是我随意地缩放了振型值，是为了更便于解释。振型值可以按比例放大或缩小，但是其振型是相同的）。
现在，利用FRF矩阵的第二行。如果拾取第一阶模态的FRF峰值，那么这些幅值又一次与悬臂梁第一阶模态的振型成比例，如图4所示。
如果你观察第一阶模态的测点1、2、和3的幅值，会发现它们分别近似等于-1.2、-3.13、和-5。乍看之下，这些数值看上去不一样，但是我们可以注意到，“比值”或“形状”与以前的情况完全相同。
实际上，如果我对由第三行得到的模态振型值进行缩放，缩放比例等于参考点2处的模态振型值（5.0）比上参考点3处的模态振型值（8.0），那么我可以得到上面列出的根据FRF第2行得到的模态振型[ 2 (5/8) =1.2, 5 (5/8)=3.13, 8 (5/8)=5 ]。基于模态振型与留数相关的理论，这正是我所期望得到的结果，所以我实际上并不惊讶（我们也可以观察FRF矩阵的第1行，可以得到相同的结果）。
于是可以看到，我们能够从FRF矩阵的任意一行得到悬臂梁的模态振型。如果我们记得互易性成立的话，那么，我们知道，不同的行或列包含了相同的信息。因此现在我还可以看到，模态振型存在于FRF矩阵的每一列中。这就是为什么我们说，你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计模态振型。当然，我可以全部用公式来说明这点，但是以图形的方式来表达会更有效（并且我知道，当我开始写公式时，你会多么地烦躁！）。
现在观察第二阶模态，并且利用FRF矩阵的第三行。如果拾取第二阶模态的FRF峰值，这些峰的幅值与悬臂梁第2阶模态的振型成比例，如图5所示。
如果观察测点1、2、和3的幅值，会看到它们分别是3、0、-8。它们是图1所示的模态振型的数值。
但是对于第二阶模态，当观察FRF矩阵的第二行时，却没有第二阶模态的相关信息。这又是为什么？这是由于第二阶模态在测点2位置的模态振型的数值为零——它是该阶模态的节点。无论什么时候，当我们使用的输入位置或响应位置位于节点（零振型值）时，那么我们将无法从那个参考点位置观察到模态。
最后一张图或许有助于你将所有的信息汇总在一起。图7显示了在梁上采集到的15个频响测量结果虚部的瀑布图；图2中响应的3个测量结果用红色显示出来。在这个图中，与第一阶模态相关的信息用蓝色显示，第二阶模态用红色，而第三阶模态用绿色。我们看到，可以从FRF的虚部峰值得到模态振型。从这些图中，我们可以看到这个悬臂梁的第一阶、第二阶、和第三阶弯曲振型。
最后我们可以得出结论，你可以利用FRF矩阵的任意一行或一列来估计系统的任意一阶模态，只要参考点没有位于某一阶模态的节点上。我希望以上讨论解答了你的问题。如果您有其它关于模态分析的任何问题，欢迎垂询。
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