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模态空间—你能为我系统地介绍一下模态分析吗？
2018-04-02 23:27:21· 来源：德国M十P国际公司北京代表处
我仍然对所有模态相关的概念感到困惑，拉普拉斯变换、傅里叶变换、频响函数，所有这一切！你能系统地给我介绍一下吗？
我仍然对所有模态相关的概念感到困惑，拉普拉斯变换、傅里叶变换、频响函数，所有这一切！
你能系统地给我介绍一下吗？
作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）
当然可以。有时候后退一步有助于从全局上观察一切。我有一幅图，至今已用了很多年了，它可以帮助我们更清楚地理解得模态。我称之为“全局图”。让我们看看这幅图，并单独讨论图中的每个部分。
首先，从解析表达式开始，参考图中所示的有限元模型。从根本上说，我们利用有限元法得到一个通过弹簧连接的集中质量系统，以近似描述物理系统。由于这种解析近似是通过系统中描述的每个质量的力平衡方程来描述的，所以最后对每个质量（或自由度）各得到一个方程，用以近似描述系统。由于需要很多非常小的有限单元来精确描述系统，所以最后得到了很多方程，含有很多未知数。用矩阵可以方便快速地列出所有这些方程。一旦将所有的这些方程组织在一起后，就可以利用特征解，即几个简单的数学项——系统频率和模态振型来表示系统，这就是有限元方法的处理过程。
不必深究所有细节，将得到的方程变换到拉氏域中。（转换到拉氏域并不是为了故意为难你，其实是为了让一些方程更易于处理。这一点请相信我！）现在，在拉氏域中我们得到了系统方程[B(s)]以及它的逆矩阵[H(s)]，也就是系统传递函数。我们都知道这个逆矩阵就是系统矩阵的伴随矩阵（或系统矩阵的残余因子）除以系统矩阵的行列式。逆矩阵在所有的振动教科书中都有介绍（通常在附录A中）。
这没什么大不了的是吧！对你来说这意味着什么?事实证明伴随矩阵中含有模态向量，我们称之为留数矩阵[B(s)]的行列式中含有系统的根，或称为系统的极点。这些与从解析模型得到的基本信息是一模一样。所以，我可以从解析模型，或者拉氏域表达式中，来确定系统的动力学特性——它们给出的结果相同。
另一个比较重要的关系式是频响函数（FRF）。它是系统传递函数沿jω轴求值的结果。FRF实际上是一个矩阵，[H(jω)]。对于矩阵，用下标来标记输入-输出测量结果会很方便。因此，‘j’测点处的输入激励引起的‘i’测点处的一个特定响应,就称为Hij(jω)。
现在，我们需要记住系统传递函数是根据质量、阻尼和刚度来定义的。对任意的输入-输出组合，在任何想要的频带内，都可以计算或合成该函数。所以，如果需要，我们可以合成一些由FRF矩阵的一整行或一整列组成的FRFs，如图所示。
现在我们需要认识到的是，这些生成的（或者合成的）FRFs含有与系统特性相关的信息。需要记住FRFs可以利用留数和极点来生成。而且，留数与振型直接相关，而极点体现了系统的频率和阻尼。
所以组成FRFs的参数就是我们希望从FRFs中提取出来的参数。这就是模态参数估计的核心内容所在。从根本上说，我们在数学算法中利用FRFs来提取组成FRF的基本信息——频率、阻尼和模态振型。这个过程常常被称为曲线拟合。提取出来的基本信息就是模态振型，它与包含在伴随矩阵或留数矩阵里的信息相关；还有极点，它们与系统矩阵的行列式里的信息相关。
这很好地总结了这个过程——除了另一个需要解决的重要问题。目前为止，我们只讨论了利用质量、阻尼、和刚度近似项，从有限元模型或者系统拉氏域表达式中来计算系统特性。这两种方法都是利用质量、阻尼和刚度等物理参数的近似项来描述系统，所以它们将提供相同的基本信息。如果能有其它不需假定系统物理属性的方法来估计FRFs，然后就能够利用模态参数估计技术来提取想要得到的信息。
这就是模态试验的由来。根本上来说就是用某种可测的激振力去激励结构，测量作用力引起的系统响应，同时测量激振力。利用FFT将时域数据转换到频域，就能得到输出响应与输入激振力的比值，这就形成了FRF的一个近似值。
做这些试验有深远意义，牵涉到的数字信号处理的概念太多，多到现在不能立即进行详细的讨论（但是我想你知道我将要讲什么）。
所以我们可以用这个方法测量输入-输出的FRF。如果利用激振器来激励结构，并且移动加速度计到很多测点位置，就能测得了FRF矩阵的一列。（如果利用移动力锤法来采集数据，就能够测得FRF矩阵的一行）。所以做实验的优势就在于可以测得作用力引起的结构响应——我并没有对系统的质量、阻尼和刚度作任何假设，而且避免了任何可能错误的近似。当然要确保得到测量结果非常好，否则会使系统特性失真。
我希望这篇文章澄清了你的疑问。如果你有关于模态分析的任何其他问题，欢迎垂询。
你能系统地给我介绍一下吗？
作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）
当然可以。有时候后退一步有助于从全局上观察一切。我有一幅图，至今已用了很多年了，它可以帮助我们更清楚地理解得模态。我称之为“全局图”。让我们看看这幅图，并单独讨论图中的每个部分。
首先，从解析表达式开始，参考图中所示的有限元模型。从根本上说，我们利用有限元法得到一个通过弹簧连接的集中质量系统，以近似描述物理系统。由于这种解析近似是通过系统中描述的每个质量的力平衡方程来描述的，所以最后对每个质量（或自由度）各得到一个方程，用以近似描述系统。由于需要很多非常小的有限单元来精确描述系统，所以最后得到了很多方程，含有很多未知数。用矩阵可以方便快速地列出所有这些方程。一旦将所有的这些方程组织在一起后，就可以利用特征解，即几个简单的数学项——系统频率和模态振型来表示系统，这就是有限元方法的处理过程。
不必深究所有细节，将得到的方程变换到拉氏域中。（转换到拉氏域并不是为了故意为难你，其实是为了让一些方程更易于处理。这一点请相信我！）现在，在拉氏域中我们得到了系统方程[B(s)]以及它的逆矩阵[H(s)]，也就是系统传递函数。我们都知道这个逆矩阵就是系统矩阵的伴随矩阵（或系统矩阵的残余因子）除以系统矩阵的行列式。逆矩阵在所有的振动教科书中都有介绍（通常在附录A中）。
这没什么大不了的是吧！对你来说这意味着什么?事实证明伴随矩阵中含有模态向量，我们称之为留数矩阵[B(s)]的行列式中含有系统的根，或称为系统的极点。这些与从解析模型得到的基本信息是一模一样。所以，我可以从解析模型，或者拉氏域表达式中，来确定系统的动力学特性——它们给出的结果相同。
另一个比较重要的关系式是频响函数（FRF）。它是系统传递函数沿jω轴求值的结果。FRF实际上是一个矩阵，[H(jω)]。对于矩阵，用下标来标记输入-输出测量结果会很方便。因此，‘j’测点处的输入激励引起的‘i’测点处的一个特定响应,就称为Hij(jω)。
现在，我们需要记住系统传递函数是根据质量、阻尼和刚度来定义的。对任意的输入-输出组合，在任何想要的频带内，都可以计算或合成该函数。所以，如果需要，我们可以合成一些由FRF矩阵的一整行或一整列组成的FRFs，如图所示。
现在我们需要认识到的是，这些生成的（或者合成的）FRFs含有与系统特性相关的信息。需要记住FRFs可以利用留数和极点来生成。而且，留数与振型直接相关，而极点体现了系统的频率和阻尼。
所以组成FRFs的参数就是我们希望从FRFs中提取出来的参数。这就是模态参数估计的核心内容所在。从根本上说，我们在数学算法中利用FRFs来提取组成FRF的基本信息——频率、阻尼和模态振型。这个过程常常被称为曲线拟合。提取出来的基本信息就是模态振型，它与包含在伴随矩阵或留数矩阵里的信息相关；还有极点，它们与系统矩阵的行列式里的信息相关。
这很好地总结了这个过程——除了另一个需要解决的重要问题。目前为止，我们只讨论了利用质量、阻尼、和刚度近似项，从有限元模型或者系统拉氏域表达式中来计算系统特性。这两种方法都是利用质量、阻尼和刚度等物理参数的近似项来描述系统，所以它们将提供相同的基本信息。如果能有其它不需假定系统物理属性的方法来估计FRFs，然后就能够利用模态参数估计技术来提取想要得到的信息。
这就是模态试验的由来。根本上来说就是用某种可测的激振力去激励结构，测量作用力引起的系统响应，同时测量激振力。利用FFT将时域数据转换到频域，就能得到输出响应与输入激振力的比值，这就形成了FRF的一个近似值。
做这些试验有深远意义，牵涉到的数字信号处理的概念太多，多到现在不能立即进行详细的讨论（但是我想你知道我将要讲什么）。
所以我们可以用这个方法测量输入-输出的FRF。如果利用激振器来激励结构，并且移动加速度计到很多测点位置，就能测得了FRF矩阵的一列。（如果利用移动力锤法来采集数据，就能够测得FRF矩阵的一行）。所以做实验的优势就在于可以测得作用力引起的结构响应——我并没有对系统的质量、阻尼和刚度作任何假设，而且避免了任何可能错误的近似。当然要确保得到测量结果非常好，否则会使系统特性失真。
我希望这篇文章澄清了你的疑问。如果你有关于模态分析的任何其他问题，欢迎垂询。
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