简单分析汽车NVH有限元分析中的阻尼模拟

1. 概述

阻尼是系统耗损振动能或声能的能力，通常用振动一个周期的能量耗散率来表示阻尼的强弱。结构体系的真实阻尼特性是很复杂和难于确定的。近几十年来，人们提出了多种阻尼理论假设，其中用得较多的是两种线性阻尼理论：粘滞阻尼理论（有限元分析中通常称为粘性阻尼）和滞变阻尼理论（有限元分析中通常称为结构阻尼）。

在汽车NVH有限元分析中,常用的阻尼模型有3种，即粘性阻尼、模态阻尼和结构阻尼。

2. 粘性阻尼模型

粘性阻尼，是指振动系统受到大小与运动速度成正比但方向相反的阻力所引起的能量损耗。粘性阻尼假定阻尼力Fc与速度ν成正比，即



无论对简谐振动还是非简谐振动都可得到线性方程，求解方便，且能方便地表达阻尼对频率、共振等的影响，是应用最为广泛的阻尼模型。

在单自由度系统动力学分析中通常用阻尼比ζ（阻尼系数c对临界阻尼系数cc的比值）来量化表示粘性阻尼。



在NVH有限元分析中，粘性阻尼通常是采用阻尼单元来模拟，例如Nastran中的CVISC、CDAMPi、CBUSH、CBUSH1D等。阻尼单元连接两个节点（或者连接一个节点与地面），定义了两个节点之间（或者节点与地面之间）相对运动速度和阻尼力之间的比例关系。阻尼单元适合于模拟特定的阻尼器件，最典型的应用就是汽车减震器。

对于结构振动时的空气阻力或结构振动时内部分子或原子之间的能量耗散，采用粘性阻尼假设，考虑到阻尼力作用于每个有限元节点，则形成的有限元动力学方程为



其中[C]为阻尼矩阵，如果采用阻尼单元来精确构造阻尼矩阵[C]，就需要在每两个自由度之间布置一个阻尼单元，这在实际分析中很难实现，这种情况就需要考虑使用模态阻尼。

3. 模态阻尼模型

对于有限元动力学方程，直接构造阻尼矩阵非常困难。但如果我们假定阻尼矩阵为比例阻尼形式，即阻尼矩阵可以通过模态向量U正交化为对角阵，即



同时，质量矩阵和刚度矩阵也通过模态向量转换成为了对角阵，则动力学方程可以在模态空间中解耦，得



运动方程转化为以模态坐标表示的一系列非耦合的单自由度方程：



其中pi(t)为第i阶模态坐标，ζi为第i阶模态阻尼比，ri为作用到这个自由度上的外力。这样，我们无需直接构建复杂的阻尼矩阵，只需要提供各阶模态阻尼比，然后求解这个单自由度方程，就能得到结构的动力学响应。

所以，模态阻尼的本质仍然是粘性阻尼，但它通过定义模态阻尼比来体现粘性阻尼的作用，避免了直接构建阻尼矩阵。

对于比例阻尼，还有另一种更常见的特例，即瑞利阻尼（虽然汽车NVH一般不用瑞利阻尼，但还是介绍一下），也就是说阻尼矩阵正比例于质量矩阵和刚度矩阵



这是因为材料或结构的实际阻尼机理与质量或刚度相关，对于摩擦而言，矩阵正比例于质量；对于内部材料阻尼而言，阻尼正比例于刚度。因此，如果按瑞利阻尼来考虑，在有限元计算中，只需要输入系数α和β，这样的形式更简单。

4. 结构阻尼模型
粘性阻尼模型最大的缺点是每周期的能量损失依赖于激励频率，这种依赖关系与大量试验结果不符。对于振动系统内部的材料内摩擦阻尼，每周能量损失只取决于振幅，与振动频率并无关联，采用结构阻尼模型更为合理。

结构阻尼也叫滞变阻尼，它假定应力应变间存在着相位差从而导致振动一周有耗能发生。结构阻尼表现为以一定频率循环加卸载时，加载和卸载不按同一路径，如图1所示。此时材料的应力应变关系并不符合胡克定律，应变落后于应力，如图2。


图1 加卸载迟滞回线


图2 循环激励下的应力应变关系曲线

应力和应变之间的实际关系如下式



其中σ0和ε0为应力和应变的振幅；t为时间；ω为振动的角频率，φ为应变滞后应力的相位角差。

此时弹性模量不是实数，而是一个复数，定义如下



其中，

E*为复模量；Eʹ为复模量的实部，也称储存模量；

Eʹʹ为复拉伸模量的虚部，它决定阻尼材料循环变形时转变成热的能量损耗，所以又称为损耗模量；

G为阻尼材料的损耗因子(又称损耗正切或结构阻尼系数），它是每周振动所损耗能量与储存能量之比，是衡量阻尼材料耗散振动能量的能力的主要指标之一。

在NVH有限元分析中，结构阻尼通过指定材料的损耗因子G来定义。对于金属材料，损耗因子数值很小，一般在0.0001-0.001，通常不需在材料卡片中设置；对于高阻尼材料，例如汽车中经常应用的复合材料阻尼片和沥青阻尼片，损耗因子大概在0.2-1.0的范围，必须在材料卡片中指定损耗因子以体现结构阻尼的影响。

如果在分析中使用结构阻尼，总刚度阵通常无法对角化，需采用耦合的求解算法，必然导致求解计算量加大。

5. 汽车NVH分析中的阻尼设置（基于Nastran）
对于常规的阻尼因素，如部件结合处的滑动摩擦、低阻尼材料的内摩擦、振动时的空气阻力、结构局部塑性和间隙等，一般是采用模态阻尼或者总体结构阻尼来模拟，经验数值如下：

模态法频响或瞬态分析，使用TABDMP1卡片定义模态阻尼比。卡片中的TYPE设置为G，阻尼比的推荐值0.1(1-20Hz), 0.04(>20Hz)。如果TYPE设置为CRIT，输入的阻尼比数值应减半。

直接法频响或瞬态分析，使用PARAM,G语句定义总体结构阻尼系数，推荐值为0.04。

对于减震器之类的阻尼器件，应采用阻尼单元模拟，推荐采用CBUSH，按照器件的实际参数输入阻尼数值。

对于高阻尼材料部件，例如沥青阻尼板等，应为其建立壳单元或实体单元模型，然后在相应的MATi卡片的GE域输入材料损耗因子，以体现该部件的结构阻尼。

因为Nastran瞬态分析不直接支持结构阻尼，对于瞬态分析，应采用PARAM,W3语句，将结构阻尼转换为等效粘性阻尼。当然这种转换只能保证在某一特定频率下粘性阻尼与原先设定的结构阻尼是等效的，这个特定频率通常选择为结构的第一阶整体变形模态频率。

模态阻尼通常是粘性阻尼在模态空间的表示。但利用PARAM,KDAMP,-1语句，可将模态阻尼处理为复刚度形式，即结构阻尼形式。