NVH理论基础分析：原点动刚度与加速度导纳 IPI

车辆在怠速或行驶过程中由于车身面板振动引起的室内空腔轰鸣噪声对乘坐舒适性有很大影响。而通过发动机、悬架等与车身的连接点传递至车身的振动是引起车身面板振动的主要原因。连接点动刚度是室内怠速噪声与路面噪声的重要影响因素。研究表明，反映连接点动刚度特性的原点加速度导纳 IPI 对室内声压响应起主导作用，虽然车身内饰和室内空腔也影响室内声压，但若加速度导纳特性差则很难通过后期其他的优化方法来达到提升整车NVH能的目的。因此车身各个安装点的动刚度对车内振动和噪声有着巨大的影响，对动刚度进行分析和优化具有十分重要的工程意义。高的接附点动刚度提升了安装点动刚度和安装点隔振衬套的刚度比，同时增加了安装点对发动机、路面激励的隔振作用。（摘要引用于百度文库“车身接附点动刚度的研究”）

汽车动刚度的定义

对于线性系统，刚度表示为作用在系统上的载荷力 F 与其受力变形量 D 之间的比值。正如系统的模态参数（振型，频率与阻尼），刚度也是系统的固有特性，它不受外界载荷和响应的影响。

在系统中施加静力载荷并测量位移响应，两者之比就可得到系统的静刚度，表达式如下：

k = F/D
1)
k : 静刚度，单位 N/mm
D : 位移响应，单位 mm
F : 载荷，单位 N

当在系统中施加动态载荷（载荷随频率变化而改变）并测量位移响应，两者之比就可得到系统的动刚度，动刚度表达式推导如下：

首先对于一个单自由度弹性阻尼系统，其动力学方程为：

2）

为了求解 2) 式，我们可以把位移响应 x 与激励力 f 设为：

3）

然后把上式 3) 代入式 2) 即得到动刚度表达式：

4）

从动刚度表达式可知道，动刚度是与激励频率有关的函数，刚度值随着频率 ω 的变化而改变，而不再是一个固定值，其中包含着实部与虚部，其幅值为：

5）

我们注意到，当激励频率 ω=0时，式 4）变成：



即此时动刚度与静刚度相等，所以说静刚度是动刚度的一种特殊情况。

再细看一下动刚度式 4)，动刚度的值除了与系统静刚度 k 和激励频率 ω 有关外，还与系统的质量 m，阻尼有关 c。所以当我们遇到在某一频率段内出现动刚度不足需要对系统进行优化的时候，我们便可以从提高系统静刚度，调整质量，增加阻尼，改变激励频率等方向对系统进行针对性优化，达到提高系统动刚度的目的。

原点动刚度的定义

当激励力作用点与响应测量点一致时，计算出来的动刚度我们称之为原点动刚度。原点动刚度表示激励与响应同一点的动刚度情况，它是动刚度的一种特殊形式。

前面我们给出单自由度的动刚度表达式推导过程，接下来我们一起讨论一下多自由度系统原点动刚度的表达式。对于一个多自由度振动系统，我们可以写出以下动力学方程组：

6）

其中，其中 [M] 为质量矩阵，[K] 为刚度矩阵，[C] 为阻尼矩阵，{x}为位移响应，{F} 为激励力。

对方程6) 两边进行拉普拉斯变换，得到：

7）

对时不变系统，令s=jω，7) 可化成下面式子：

8）
根据模态响应振型叠加原理有：

9）
其中：

10)

其中 [Φ] 为模态振型矩阵，{q} 为模态坐标矩阵，{qr} 为第r阶模态对响应的贡献量， φLr是响应点L 处的第r阶振型系数， qr(ω) 是第r阶的模态坐标，{XL(ω)} 为系统第L 点的响应。

把式 9) 代入8) 可以建立其物理坐标与模态坐标之间的关系如下：

11）
车身结构阻尼很小，我们认为系统的模态为实模态，且阻尼为比例阻尼。在式11) 两边同乘以 [ϕ]T，式子变为：

12）

其中：



对于第 r 阶模态，12) 式表达为：


对于单点激励的情况，假设在A点，激励力;



第 r 阶模态坐标的响应为：


得到模态坐标 q 后，根据式 9) 反过来计算对应的物理坐标 x，便可得到 L 点物理坐标的响应：

13）
由式 13) 我们可以得到系统原点位移导纳（激励点L到响应点L的位移响应传递函数）：



由于，原点动刚度与位移导纳互为倒数，我们便可得到原点动刚度的表达式如下：



加速度导纳IPI的定义

由于测量振动信号的时候，加速度信号的测量相对于位移，速度信号更为方便，所以一般对于振动信号的采集通常采用加速度测量。反映连接点动刚度特性的原点加速度导纳称为IPI。IPI 全称 Input Point Inertance，指的是加速度导纳，表示加速度响应与激励力之间的传递函数。

首先，加速度导纳可以表示为：



根据式 3) ，对于单自由度系统，我们有：

14）
由式 14) 我们知道，加速度导纳IPI与动刚度kd 的关系。
所以对于单自由度系统，把式 4) 带入 14) 得到原点加速度导纳IPI：



其幅值为：



由单自由度引申到多自由度系统，原点加速度导纳IPI可以表示为：



结合有限元模态分析原理，便可计算出加速度导纳表达式中所有的参数，只需要知道系统的一个激励频率 ω ，把激励频率 ω 代入表达式，便可计算出系统的原点加速度导纳 IPI 的值。