什么是阶次切片?

阶次切片是什么概念呢？实旨上，阶次切片处理正是为了获得相应的阶次。这是因为瀑布图分析时，为了评价阶次的相对大小、对overall level的贡献和线性度等方面，必须要做阶次切片。

1为什么要做阶次切片
旋转机械的本质特点是振动或/和噪声响应出现在转速的倍数或者分数处。譬如，如果旋转轴的转速为3600rpm，频率为60Hz，那么，我们将会看到响应出现在这个频率的倍数处。这个倍数就是阶次。第1阶次的频率等于转频，在这个例子中，第1阶次是60Hz，第3阶次是3*60=180Hz。阶次O、转速R（rpm）和频率f的关系如下
f=O*(R/60)
为什么要使用阶次？这是因为阶次对转速保持不变。第1阶次始终是转频，第2阶次始终是2倍的转频，等等。从上式可以看出，阶次对应的频率（阶次频率）等于阶次数乘以转频，频率为单一数值，那为什么在做阶次切片时要考虑一定的带宽？

通过《瀑布图的拖尾效应》一文，我们明白了瀑布图分析时，由于在每帧数据的时间长度内，转速始终是变化的，这将导致频谱出现拖尾现象。也即是各个阶次对应的不是一条谱线，也是多条谱线，这就是所谓的能量泄漏。为了把这些泄漏到邻近谱线上的能量囊括进来，阶次切片必须考虑一定的带宽。

瀑布图分析得到的三维谱图（如瀑布图或colormap图）中存在明显的阶次成分，为了比较各个阶次的相对大小，或者评价各个阶次对overall level的贡献，或者是为了评价阶次的线性度等方面，都需要做阶次切片。在三维谱图中，进行以上这些方面的评价是极不方便的，因而，需要将关心的阶次成分“切割”出来，放到二维图中进行比较与评价，这个“切割”过程得到的结果就是所谓的“阶次切片”。
如图1所示，从瀑布图分析得到的结果中得到了6阶次和18阶次的切片， 显示在图右则的二维图中，可方便地比较二者的相对大小。图中左侧三个不同转速对应的瞬时频谱下的阶次切片值对应于右图三个转速处的数值。具体如何得到阶次切片，接下来将以一个实例进行说明。



图1 阶次切片示意

2怎么进行阶次切片处理
对一个4冲程4缸发动机顶部的垂向加速度信号做瀑布图分析，跟踪发动机曲轴的转速，得到的瀑布图如图2所示，在这以2阶次的切片为例进行说明。首先，我们局部放大频率轴的区间，显示0-150Hz，得到的colormap图如图3所示，从图中可以明显看出，2阶次存在一定的宽度，不是一条线，而是一个宽的频率区间。



图2 发动机顶部加速度的colormap图



图3 放大频率轴突出显示2阶次

对旋转机械的振动噪声信号进行瀑布图分析时，我们知道转速是时刻变化的，瀑布图中的阶次线只斜交通过一些频率，如图3中的2阶阶次曲线。在那个转速下的FFT分析频率不可能完全刚好匹配相应的阶次频率。频谱会遭受泄漏，从而出现拖尾效应。这样会使得频谱“宽胖平坦”，能量分布在一些谱线上，因此，在进行阶次切片时要包含这些存在能量泄漏的谱线，因而阶次切片要包含一定的频率范围，通常这个范围称为阶次带宽。

阶次切片处理时，要求相应阶次宽度内的总有效值（RMS）。数学上，转速s下的j阶次成分由下式给出



b为半个阶次带宽，表征阶次带宽的物理量可以是频率、谱线、百分比和阶次等。各种谱函数对应的有效值的具体计算公式可参考文章《怎样求信号中的RMS值?》。图2中标识转速为1980rpm对应的瞬时频谱如图4所示。虽然阶次切片也是求总有效值，但不是整个瞬时频谱的总有效值。如果是整个瞬时频谱的总有效值，那么，则是overall level，也就是说overall level包括了所有的阶次成分和非阶次成分的能量，而阶次切片仅考虑相应的阶次宽度内的总有效值。假设阶次切片的宽度为0.5阶次（以阶次来表征宽度参数），对于2阶次而言，其对应的阶次宽度为1.75~2.25阶次，对应的频率区间为57.75~74.25Hz。因此，1980rpm对应的瞬时频谱2阶次的总有效值为这个频率区间的总有效值，计算的结果为0.4g，如图5所示。而当考虑整个频带的总有效值时，则这这个转速下的总有效值，也就是overall level，等于0.46g，如图6所示。



图4 1980rpm对应的瞬时频谱



图5 1980rpm对应的瞬时频谱中2阶次的有效值



图6 1980rpm对应的瞬时频谱的总有效值

同时显示这个数据的overall level和2阶次曲线，并标识1980rpm处的值，如图7所示，可以看出，按上面方式计算得到的有效值与相应曲线在这个转速下的数值相等。



图7 overall level与2阶次在1980rpm处的数值

上面仅是给出了1980rpm处的值，其他转速下的2阶次是如何计算的呢？在《什么是overall level?》一文中，我们曾经给出了频域计算OA值的思路。实际上，二者的计算思路是相同的，不同的地方在于频率范围。阶次切片处理比计算OA要略微复杂，因为即使同一阶次，在不同的转速下对应的频率带宽是不同的，而OA是整个频带上的总有效值，不需要考虑不同的带宽。另一方面，当阶次不同时，即使是相同的转速，对应的频率带宽也不相同。

频域阶次切片处理的思路如下（以第2阶次，0.5阶次宽度为例，其他阶次类似）：第一帧时域数据计算得到瞬时频谱S0之后，这帧时域数据对应一个转速（如以平均转速或中间转速标识这块数据），计算这个转速下的2阶次对应的频率范围，然后计算这个瞬时频谱在这个频率范围内的总RMS值A0，然后再按步长计算下一帧时域数据的瞬时频谱S1，这帧时域数据又对应另一个转速，再计算这个转速下的2阶次对应的频率范围，然后计算这个瞬时频谱这个频率范围内的总RMS值A1，循环这个过程，直至计算最后一帧时域数据所对应的总RMS值AN，将每个瞬时频谱2阶次对应的频带的总有效值A0，A1，…，AN按转速先后顺序排列连成曲线，就是所谓的阶次切片曲线，整个计算过程如图8所示。



图8 阶次切片处理过程示意

通过上面的讨论，我们知道阶次切片只计算阶次宽度内的RMS值，而overall level则计算整个频带范围内的RMS值。因此，我们总是认为所有的阶次之和应小于overall level，但实际上可能存在大于的情况。

如果我们考虑所有重要的阶次，对其求平方和，取平方根，那么，我们将此值作为overall level的一种估计。如果阶次分离合适，那么我们将漏掉一些噪声和一些能量非常小阶次。因此，由阶次计算得到的RMS值将小于overall level值。

有时一些阶次对应的带宽会重叠，这样一些能量将会重复计算。这时计算的RMS值将大于实际的overall level值。如果出现这种情况，那么说明我们有阶次带宽重叠。这种情况通常出现在低转速下，因为转速低，各个阶次频率比较接近，计算这部分的阶次切片时存在频率区间重叠的可能性大。

对之前的发动机顶部加速度信号计算overall level和典型的发动机点火阶次及其谐阶次，如图9所示。



图9 overall level和各个阶次曲线

3转速变化速率的影响
在《瀑布图的拖尾效应》一文中，我们介绍转速变化速率对频谱拖尾的影响：相应阶次对应的频率变化速率等于阶次数乘以转频变化速率。阶次越高，变化速率越大。假设频率分辨率为1Hz，现在考虑转速变化率为120rpm/s和1200rpm/s的两种情况，这两种情况对应的转频变化速率分别为2Hz/s和20Hz/s。阶次越高，频率变化率越快。如第1阶次二者分别以2Hz/s和20Hz/s的速率发生变化，但第5阶次，则二者将分别以10Hz/s和100Hz/s的速率发生变化。要充分描述各阶次切片的变化，就必须要有足够宽的频率带宽。也就是说转频变化速率越大，各阶次切片的频率宽度越宽，如图10所示。从图中可以看出，同一转速变化率情况下，阶次越高，阶次切片宽度越宽。同一阶次时，转速变化越快，阶次切片带宽越宽。这也可以从另一方面理解，频率分辨率为1Hz，那么2Hz/s和20Hz/s的变化速率只需要2条和20根谱线即可描述，但考虑第5阶时，则需要10条和100条谱线才能正确描述。


（a）1200rpm/s
（b）120rpm/s



图10 转速变化速率对阶次切片宽度的影响

阶次切片计算需要考虑一定的带宽，实际上是因为能量发生了泄漏，导致频谱拖尾到这些谱线上了，转速变化速率越快，频谱拖尾越严重。因此，转速的变化速率对阶次切片带宽是有影响的，转速变化速率越大，阶次切片所对应的阶次宽度越宽。