什么是“拍”现象？

当两个幅值和频率相近的简谐波进行叠加时，会出现幅值忽高忽低的现象，也就是所谓的“拍”现象，但它又不同于幅值调制，虽然在时域上表现相同：都是幅值忽高忽低，但二者有着本质的区别。当两个频率相近的声波叠加时，由于人耳听到的声音取决于声波的幅值，因此，当出现拍现象时，人耳听到的声音在幅值上会出现周期性的强弱变化，一强一弱变化就是一次拍。

1拍的定义
当同方向的两个频率相差不大的简谐波叠加时，叠加后的波形的幅值将随时间作强弱的周期性度化，这种现象称之为“拍”，如图1所示，图中有三个拍，幅值出现忽强忽弱的变化，单位时间内出现的拍数称为拍频（拍的频率），也是叠加后波形的幅值变化频率。



图1 拍现象

通常，原始的两个简谐波的振动频率较高，与叠加后的波形的频率接近，但拍的频率很低，远小于原始简谐波的振动频率，因而，当出现拍现象时，它把高频信号中的频率信息和相位信息转移到低频信号（拍）之中，使它们由难以测量变得容易测量。

在声学测量中，经常会遇到两个传播方向相同，频率相近的声波。这两个声波在叠加时会产生“拍”现象，如图2所示。此时蓝色的正弦波的频率为这两个声波频率和频的一半，这个声音可以被人耳感知到，而另一个频率是包络的正弦波的频率是这两个声波差频的一半，还有一个频率是声音强弱变化的频率，即拍频，是这两个声波频率之差。从图2中可以看出，频率相同或接近的声波叠加时，在叠加区的不同位置会出现加强与减弱的拍现象，这种现象也称为声波干涉。



图2 两个频率相近的声波形成拍

对于4缸4冲程发动机而言，主要的激励阶次是2，4，6，8等阶次，除了这些阶次之外，还存在半阶次。对于单缸而言，它的点火阶次是半阶次，虽然半阶次的能量没有主要的激励阶次2，4，6，8等阶次大，但它还是存在的。在某些特定转速下，如怠速时，半阶次与整数阶次的频率相差不大，二者频率挨的比较近。一旦频率挨得很近时，噪声信号就会出现典型的拍现象。出现拍的噪声信号幅值忽高忽低（幅值波动），但人耳是分辨不出来这种频差的。当这两个频率挨得较近时，又分到底是非常近，还是比较近，还是完全分开等情况。当完全分开时，听起来是两个完全不同的声音（两个纯音），比较近时，表现出来的是所谓的粗糙度，而特别近时，表现出来的是声音的波动（拍现象），如图3所示。



图3 不同的频差表现不同的特性

对于发动机而言，两个声音的频率是属于比较近的情况，但又不会特别近。当两个声波的频差处于不同频率范围时，会表现出不同的特性。如果二者频差低于15Hz，会出现明显的拍现象，如图3中的拍现象所示就属于这种情况；当频差大于15Hz，而低于300Hz时，能感受到明显的粗糙特性；而当频差大于300Hz时，可以感受到两个明显的纯音。

2相关理论
在介绍拍的相关理论之前，让我们首先考虑两个同方向同频率的简谐波叠加。然后给出两个同方向不同频率的简谐波叠加形成拍的相关理论，下一篇文章《什么是利萨如图？》将介绍两个相互垂直的简谐波叠加。

（一）两个同方向同频率的简谐波叠加。在《有趣的分贝公式》一文中，我们曾经这样讲道：两个相关的等声压级的简谐声源叠加，总声压级将增加6dB。因为此时是两个同方向同频率的简谐波声源叠加，幅值直接相加。在这，将给出这个观点的理论支撑依据。

假设两个同方向同频率的简谐波的原方程式为：



当这两个简谐波叠加时，依据三角函数公式有

其中，

从上式可以看出，两个同方向同频率的简谐波叠加后的信号仍为简谐波。接下来，我们讨论一下这两个原始信号的相位关系：1）同相位；2）反相位。

1）如果原始的两个简谐波的相位相同，即Δφ=φ2-φ1=2kπ,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

从这可以看出，如果原始两个简谐波幅值相等，那么叠加后的简谐波的幅值为原始波形幅值的2倍，频率与相位不变。即使两个信号的幅值不相等，叠加后的波形的幅值为两个原始波形幅值直接相加。因而，相位相同时，叠加后的信号幅值相互加强。

2）如果原始的两个简谐波的相位相反（相差180度），即Δφ=φ2-φ1=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

对于两个相位相反的同频率简谐波而言，叠加后的波形的幅值为两个原始波形幅值直接相减的绝对值。因而，相位相反时，叠加后的信号幅值相互减弱。

3）对于一般相位而言，叠加后的幅值处于
|A1-A2|<A< A1+A2
另外，如果有多个同方向同频率的简谐波叠加，叠加后的波形仍为简谐波。

（二）两个同方向不同频率的简谐波叠加。假设两个简谐波的原始方程为：

考虑A1=A2，且|ω1-ω2|<<ω1+ω2时，根据和差化积公式，它们叠加后形成拍的波形方程为

式中，A=2A1|cos(ω2-ω1)t/2|为叠加后的拍的幅值。因为ω2-ω1很小，所以A表示缓慢周期变化的幅值。由于0≤|cos(ω2-ω1)t/2|≤1，因此有，
Amax=2A1
Amin=0
拍的周期Tb和频率fb为

这就使得拍的幅值按频率fb作周期性变化：加强与减弱，如图4所示。合成后的波形的振动频率为

合成后的拍除了上述两个频率成分之外，还有一个频率成分，即包络线（如图4中蓝色曲线）的频率成分，该频率成分为拍频的一半，即




图4 拍

当A1≠A2时，叠加后的波形为：

式中，

合成波形的最大振幅和最小振幅为：

频率成分仍与之前三个相同。

3
与幅值调制的区别
在信号幅值调制过程中，是用低频的调制信号来改变高频的载波信号的幅值。如齿轮所在轴的转频信号作为调制信号，调制齿轮幅的啮合频率。因此，调制信号与载波信号频率相差甚远，而合成拍的两个信号频率成分相差不大。但幅值调制的表现形式与拍是完全相同的：周期性的加强与减弱，如图5所示为某个幅值调制的波形。



图5 幅值调制的时域波形

幅值调制信号是载波信号与调制信号在时域上的乘积，转换到频域，则是两个信号的卷积。而合成拍是两个信号在时域上的相加，是信号和差化积的过程，而幅值调制是积化和差的过程。

已调信号包括三个正弦分量：一个是原始的载波信号，另外两个频率成分分别是载波信号与调制信号的和频与差频。和频与差频均匀分布在载波信号的两侧，称为上、下边频带。调制不会改变载波信号的幅值，但边频带的幅值等于载波信号幅值与调制指数乘积的一半。图6给出了一个调制指数为0.5，频率为2Hz的简谐调制信号和幅值为1，频率为100Hz的简谐载波信号的幅值调制结果，左图为时域信号，右图为相应的频谱。



图6 幅值调制后的时域波形和频谱

拍也包括三个正弦分量：合成振动波的频率为两个简谐波和频的一半，拍频为两个简谐波的差频，包络线频率为两个简谐波差频的一半。图7为两个频率成分分别为99Hz和101Hz的单位幅值简谐波叠加后形成的拍的时域信号与频谱。从时域波形中可以看出，拍的幅值在0~2之间变化。由于拍是两个正弦波的叠加，对叠加后的时域信号进行FFT分析时，得到的频谱仍只包含原始两个正弦波的频率成分。



图7 拍的时域信号与频谱

如果要提取到拍频，必须要对拍的时域波形做包络分析，获得包络曲线，然后对包络曲线进行FFT分析得到包络曲线的频谱。对图7所示的拍的时域信号进行包络分析得到包络曲线如图8左侧所示，然后对这条包络曲线进行FFT分析，得到拍的频率如图8中的右侧所示，从图中可以看出，拍频为2Hz。



图8 拍的包络曲线和频谱

从图6和图7可以看出，虽然拍与幅值调制从时域信号上来看，有着类似的变化规律，但二者的频率成分要求完全不同。如图6中的原始频率成分是100Hz和2Hz，二者相差甚远，而图7中形成拍的原始频率成分是99Hz和101Hz，二者相差不大。除此之外，二者还有着本质的区别。

参考：
1. 5-4-一维简谐运动的合成-拍现象.PPT
2. INV1601振动与控制教学实验系统实验指导书