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有限元分析中的接触和摩擦模拟（一）
2018-09-06 21:49:31· 来源：模态空间 作者：北汽新能源王朋波
1、接触分析的挑战性接触是在固体力学各个领域中普遍存在的问题。对自然界中许多物理问题的描述都涉及接触现象。例如零部件装配时的配合，橡胶密封元件的防漏，轮胎与地面的相互作用，撞击问题以及压力加工行业的大量成型工艺过程等。接触过程中两个物体在接触界面上的相互作用是复杂的力学现象，同时也是它们损伤直至失效
1、接触分析的挑战性
接触是在固体力学各个领域中普遍存在的问题。对自然界中许多物理问题的描述都涉及接触现象。例如零部件装配时的配合，橡胶密封元件的防漏，轮胎与地面的相互作用，撞击问题以及压力加工行业的大量成型工艺过程等。
接触过程中两个物体在接触界面上的相互作用是复杂的力学现象，同时也是它们损伤直至失效破坏的重要原因。从力学分析角度看，接触是边界条件高度非线性的复杂问题，需要准确追踪接触前多个物体的运动以及接触发生后这些物体之间的相互作用，同时包括正确模拟接触面之间的摩擦行为和可能存在的接触间隙传热。其中极少数的接触问题可以解析处理，绝大多数接触问题只能采用有限元、离散元、边界元等数值方法进行模拟，其中有限元法的应用最为广泛。对接触全过程进行有限元仿真，现在不仅可以实现，而且正逐步成为CAE/CAM的重要组成部分。
在实际工程中，有限元接触分析的计算结果经常用于对某些设计参数进行优化设计，例如对轮胎进行结构优化以提高安全性和寿命。如果采用基于梯度的优化算法，需要得到力学变量（位移、应力、接触反力分布状况等）相对于设计参数（材料、尺寸、形状、拓扑结构等）的变化曲线和相应的敏度（梯度）。对于无摩擦接触情况，现有的有限元接触算法，例如拉氏乘子法、罚函数法等，能够得到足够稳定的敏度数据；但是对于有摩擦接触情况，如果不采取一些特殊的处理，则很难得到稳定的数值结果，梯度的数值通常随载荷和网格的改变而发生剧烈的振荡，不具备可用性。
虽然接触力学和相关的数值方法已经广泛应用于工程开发和科学研究，但对于接触和摩擦的物理机制，目前尚未有完全的理解。
从工程的观点来看，计算机技术和计算方法的发展，使我们能够更精确的分析接触问题以适应工程需要。对接触问题的仿真和模拟在工程设计的多个方面已经发挥了重要的作用，例如减少磨损、降低噪声和提高安全性等。
但从科研的观点来看，现有的接触数值算法流程过于复杂，需要耗费大量的内存空间和计算时间，一般经过反复的校核、修正才有可能得到符合实际情况的计算结果。迄今为止，对于带摩擦的接触分析，当前各种商用有限元软件经常不能给出精确可靠的结果。开发稳定、高效、健壮的接触算法仍然是一个亟待解决的问题。
以上挑战性不仅来自接触过程中复杂的变形和受力状况，更主要的原因是接触界面的边界条件非线性。
接触界面的非线性来源于两个方面：
(1) 接触界面事先未知。接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先都是未知的，而且是随时间变化的，需要在求解过程中确定。
(2) 接触条件的非线性。接触条件的内容包括：两个互相接触的物体不可相互侵入；接触力的法向分量只能是压力；切向接触的摩擦条件。这些条件区别于一般约束条件，其特点是单边性的不等式约束，具有强烈的非线性。
接触界面的事先未知性和接触条件的不等式约束决定了接触分析过程需要经常插入对接触区域的搜索，需要多次迭代求解以确定接触压力和摩擦力。
另外，接触过程常常涉及材料非线性和几何非线性。例如，汽车轮胎与路面的接触是接触力学中最典型的实际工程问题，进行数值模拟时，必须考虑由于大变形引起的几何非线性，为得到可靠的计算结果，还应使用复杂的非线性材料本构关系。因此，通常要求有限元接触算法具备同时处理三种非线性（材料、几何、边界条件非线性）的能力。
2、接触问题的约束条件
2.1 不可贯入性
如图1，考虑两个物体BI(I=A,B)互相接触的情况，物体所占据空间域为ΩI∈R3。物体BI的表面ΓI由三部分组成：ΓσI上面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI则是两个物体的接触面。
图1 接触体之间的法向间隙
接触物体在运动学方面需要满足不可贯入性要求，不可贯入性是指物体BA和BB的位形在变形和运动过程中不允许相互贯穿（侵入和覆盖），可用下式表达：
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式中，xI(I=A,B)指的是物体BI上表面各点对应于变形后位形的坐标，即欧拉坐标：
式中，nA是物体BA表面的外法线方向单位矢量。假定接触边界描述了一个局部外凸的区域，我们可以将ΓB上的任一点xB与ΓA上的某一点.jpg)
相关联。ẍA(x头上两点代表-，下同)是物体BA表面上距离xB最近的点，参见图1，二者距离用下式表示
该距离可用于定义接触体BA和BB之间的法向间隙。
如果ẍA已知，不可贯入条件可用以下不等式约束来表示
对于变形体与刚性表面接触的情况，上式仍然成立，此时xA≡XA，nA≡NA。
接触是在固体力学各个领域中普遍存在的问题。对自然界中许多物理问题的描述都涉及接触现象。例如零部件装配时的配合，橡胶密封元件的防漏，轮胎与地面的相互作用，撞击问题以及压力加工行业的大量成型工艺过程等。
接触过程中两个物体在接触界面上的相互作用是复杂的力学现象，同时也是它们损伤直至失效破坏的重要原因。从力学分析角度看，接触是边界条件高度非线性的复杂问题，需要准确追踪接触前多个物体的运动以及接触发生后这些物体之间的相互作用，同时包括正确模拟接触面之间的摩擦行为和可能存在的接触间隙传热。其中极少数的接触问题可以解析处理，绝大多数接触问题只能采用有限元、离散元、边界元等数值方法进行模拟，其中有限元法的应用最为广泛。对接触全过程进行有限元仿真，现在不仅可以实现，而且正逐步成为CAE/CAM的重要组成部分。
在实际工程中，有限元接触分析的计算结果经常用于对某些设计参数进行优化设计，例如对轮胎进行结构优化以提高安全性和寿命。如果采用基于梯度的优化算法，需要得到力学变量（位移、应力、接触反力分布状况等）相对于设计参数（材料、尺寸、形状、拓扑结构等）的变化曲线和相应的敏度（梯度）。对于无摩擦接触情况，现有的有限元接触算法，例如拉氏乘子法、罚函数法等，能够得到足够稳定的敏度数据；但是对于有摩擦接触情况，如果不采取一些特殊的处理，则很难得到稳定的数值结果，梯度的数值通常随载荷和网格的改变而发生剧烈的振荡，不具备可用性。
虽然接触力学和相关的数值方法已经广泛应用于工程开发和科学研究，但对于接触和摩擦的物理机制，目前尚未有完全的理解。
从工程的观点来看，计算机技术和计算方法的发展，使我们能够更精确的分析接触问题以适应工程需要。对接触问题的仿真和模拟在工程设计的多个方面已经发挥了重要的作用，例如减少磨损、降低噪声和提高安全性等。
但从科研的观点来看，现有的接触数值算法流程过于复杂，需要耗费大量的内存空间和计算时间，一般经过反复的校核、修正才有可能得到符合实际情况的计算结果。迄今为止，对于带摩擦的接触分析，当前各种商用有限元软件经常不能给出精确可靠的结果。开发稳定、高效、健壮的接触算法仍然是一个亟待解决的问题。
以上挑战性不仅来自接触过程中复杂的变形和受力状况，更主要的原因是接触界面的边界条件非线性。
接触界面的非线性来源于两个方面：
(1) 接触界面事先未知。接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先都是未知的，而且是随时间变化的，需要在求解过程中确定。
(2) 接触条件的非线性。接触条件的内容包括：两个互相接触的物体不可相互侵入；接触力的法向分量只能是压力；切向接触的摩擦条件。这些条件区别于一般约束条件，其特点是单边性的不等式约束，具有强烈的非线性。
接触界面的事先未知性和接触条件的不等式约束决定了接触分析过程需要经常插入对接触区域的搜索，需要多次迭代求解以确定接触压力和摩擦力。
另外，接触过程常常涉及材料非线性和几何非线性。例如，汽车轮胎与路面的接触是接触力学中最典型的实际工程问题，进行数值模拟时，必须考虑由于大变形引起的几何非线性，为得到可靠的计算结果，还应使用复杂的非线性材料本构关系。因此，通常要求有限元接触算法具备同时处理三种非线性（材料、几何、边界条件非线性）的能力。
2、接触问题的约束条件
2.1 不可贯入性
如图1，考虑两个物体BI(I=A,B)互相接触的情况，物体所占据空间域为ΩI∈R3。物体BI的表面ΓI由三部分组成：ΓσI上面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI则是两个物体的接触面。
图1 接触体之间的法向间隙
接触物体在运动学方面需要满足不可贯入性要求，不可贯入性是指物体BA和BB的位形在变形和运动过程中不允许相互贯穿（侵入和覆盖），可用下式表达：
式中，xI(I=A,B)指的是物体BI上表面各点对应于变形后位形的坐标，即欧拉坐标：
式中，nA是物体BA表面的外法线方向单位矢量。假定接触边界描述了一个局部外凸的区域，我们可以将ΓB上的任一点xB与ΓA上的某一点
相关联。ẍA(x头上两点代表-，下同)是物体BA表面上距离xB最近的点，参见图1，二者距离用下式表示该距离可用于定义接触体BA和BB之间的法向间隙。
如果ẍA已知，不可贯入条件可用以下不等式约束来表示
对于变形体与刚性表面接触的情况，上式仍然成立，此时xA≡XA，nA≡NA。
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